Найти: математическое ожидание случайной величины

Предмет: Математика
Раздел: Теория вероятностей и математическая статистика (математическое ожидание и дисперсия случайной величины)

Условие:

Дано:

• \[\int_b^a x^2 \cdot f(x)\,dx = 4\]
• \[D(X) = 2{,}75\]

Найти: \[M(X)\] — математическое ожидание случайной величины \[X\].

Теория:

Для непрерывной случайной величины \[X\] с функцией плотности \[f(x)\]:

• Математическое ожидание: \[M(X) = \int_b^a x \cdot f(x)\,dx\]

• Дисперсия: \[D(X) = \int_b^a x^2 \cdot f(x)\,dx - (M(X))^2\]

Подстановка известных значений:

Из условия:

• \[\int_b^a x^2 \cdot f(x)\,dx = 4\]
• \[D(X) = 2{,}75\]

Подставим в формулу дисперсии:

 \[ D(X) = \int_b^a x^2 \cdot f(x)\,dx - (M(X))^2 \Rightarrow 2{,}75 = 4 - (M(X))^2 \] 

Решим уравнение:

 \[ (M(X))^2 = 4 - 2{,}75 = 1{,}25 \Rightarrow M(X) = \pm \sqrt{1{,}25} = \pm \sqrt{\frac{5}{4}} = \pm \frac{\sqrt{5}}{2} \approx \pm 1{,}118 \] 

Ни один из предложенных вариантов не равен \[\pm 1{,}118\], но, возможно, в условии ошибка или округление.

Проверим другой путь: пусть \[(M(X))^2 = m^2\]

Тогда:  \[ D(X) = 4 - m^2 = 2{,}75 \Rightarrow m^2 = 1{,}25 \Rightarrow m \approx \pm 1{,}118 \] 

Значит, ближайший вариант к \[1{,}118\] — это 1,5.

Ответ:

Правильный ответ: 1) 1,5 (наиболее близкий к точному значению \[\sqrt{1{,}25} \approx 1{,}118\])