Найти математическое ожидание общего числа попаданий

Предмет: Теория вероятностей
Раздел: Математическое ожидание, вероятностные модели (биномиальное распределение и сумма случайных величин)

Задание №3

Вариант 1

Условие: Производится 4 выстрела с вероятностями попадания:

• [p_1 = 0{,}6]
• [p_2 = 0{,}4]
• [p_3 = 0{,}5]
• [p_4 = 0{,}7]

Найти математическое ожидание общего числа попаданий.

Решение:

Пусть каждый выстрел — это независимая случайная величина [X_i], принимающая значения:

• [1] — попадание
• [0] — промах

Тогда математическое ожидание попадания при одном выстреле: [E(X_i) = P(\text{попадание}) = p_i]

Общее число попаданий: [X = X_1 + X_2 + X_3 + X_4]

Математическое ожидание суммы:  E(X) = E(X_1) + E(X_2) + E(X_3) + E(X_4) = p_1 + p_2 + p_3 + p_4 

Подставим значения:  E(X) = 0{,}6 + 0{,}4 + 0{,}5 + 0{,}7 = 2{,}2 

Ответ: [2{,}2]

Вариант 2

Условие: Вероятности попадания:

• [p_1 = 0{,}3]
• [p_2 = 0{,}4]
• [p_3 = 0{,}6]
• [p_4 = 0{,}5]

Аналогично:

 E(X) = p_1 + p_2 + p_3 + p_4 = 0{,}3 + 0{,}4 + 0{,}6 + 0{,}5 = 1{,}8 

Ответ: [1{,}8]

Задание №4

Вариант 1

Условие: Вероятность отказа детали [p = 0{,}2], всего 10 деталей.

Решение:

Пусть [X] — число отказавших деталей. Это биномиальная случайная величина: [X \sim \text{Bin}(n=10, p=0{,}2)]

Математическое ожидание:  E(X) = n \cdot p = 10 \cdot 0{,}2 = 2 

Ответ: [2]

Вариант 2

Условие: [p = 0{,}3], [n = 12]

 E(X) = 12 \cdot 0{,}3 = 3{,}6 

Ответ: [3{,}6]