Найти: математическое ожидание M(X)

Предмет: Теория вероятностей и математическая статистика
Раздел: Случайные величины. Дискретные случайные величины.

Задание:

Найти:

• математическое ожидание M(X)
• дисперсию D(X)
• среднеквадратичное отклонение \delta(X)

Дано распределение дискретной случайной величины X:

Шаг 1: Математическое ожидание M(X)

 M(X) = \sum_{i} x_i \cdot P(x_i) 

Подставим значения:

 M(X) = (-1)(0.1) + (-2)(0.1) + (-3)(0.1) + (-10)(0.09) + (-12)(0.3) + (-20)(0.009) + (-30)(0.3) + (-40)(0.001) 

Выполним вычисления:

 M(X) = -0.1 - 0.2 - 0.3 - 0.9 - 3.6 - 0.18 - 9.0 - 0.04 = -14.32 

Шаг 2: Дисперсия D(X)

Формула дисперсии:

 D(X) = \sum_{i} (x_i - M(X))^2 \cdot P(x_i) 

Подставим M(X) = -14.32 и вычислим каждый член:

1. (-1 + 14.32)^2 \cdot 0.1 = (13.32)^2 \cdot 0.1 = 177.4224 \cdot 0.1 = 17.74224
2. (-2 + 14.32)^2 \cdot 0.1 = (12.32)^2 \cdot 0.1 = 151.7824 \cdot 0.1 = 15.17824
3. (-3 + 14.32)^2 \cdot 0.1 = (11.32)^2 \cdot 0.1 = 128.1024 \cdot 0.1 = 12.81024
4. (-10 + 14.32)^2 \cdot 0.09 = (4.32)^2 \cdot 0.09 = 18.6624 \cdot 0.09 = 1.679616
5. (-12 + 14.32)^2 \cdot 0.3 = (2.32)^2 \cdot 0.3 = 5.3824 \cdot 0.3 = 1.61472
6. (-20 + 14.32)^2 \cdot 0.009 = (-5.68)^2 \cdot 0.009 = 32.2624 \cdot 0.009 = 0.2903616
7. (-30 + 14.32)^2 \cdot 0.3 = (-15.68)^2 \cdot 0.3 = 245.8624 \cdot 0.3 = 73.75872
8. (-40 + 14.32)^2 \cdot 0.001 = (-25.68)^2 \cdot 0.001 = 659.4624 \cdot 0.001 = 0.6594624

Теперь сложим:

 D(X) = 17.74224 + 15.17824 + 12.81024 + 1.679616 + 1.61472 + 0.2903616 + 73.75872 + 0.6594624 = 123.7336 

Шаг 3: Среднеквадратичное отклонение \delta(X)

 \delta(X) = \sqrt{D(X)} = \sqrt{123.7336} \approx 11.1222 

Ответ:

• Математическое ожидание: M(X) = -14.32
• Дисперсия: D(X) \approx 123.73
• Среднеквадратичное отклонение: \delta(X) \approx 11.12