Найти математическое ожидание и дисперсию числа произведенных выстрелов

Это задание относится к предмету "Теория вероятностей" и к его разделу "Геометрическое распределение"

Давайте обозначим вероятность попадания \( p \) при одном выстреле. Геометрическое распределение описывает количество испытаний до первого успеха (попадания, в нашем случае).

Математическое ожидание (среднее значение) и дисперсия числа произведенных выстрелов с геометрическим распределением \( X \) находятся по следующим формулам:

1. Математическое ожидание \( E(X) \): \[ E(X) = \frac{1}{p} \]
2. Дисперсия \( \text{Var}(X) \): \[ \text{Var}(X) = \frac{1 - p}{p^2} \]

Теперь найдем математическое ожидание и дисперсию для нашего случая.

Математическое ожидание \( E(X) \): \[ E(X) = \frac{1}{p} \]

Дисперсия \( \text{Var}(X) \): \[ \text{Var}(X) = \frac{1 - p}{p^2} \]

Подставим значение вероятности \( p \) в формулы для математического ожидания и дисперсии.

Например, если вероятность попадания \( p \) равна 0.3, тогда:

• Для математического ожидания: \[ E(X) = \frac{1}{0.3} = \frac{10}{3} \approx 3.33 \]
• Для дисперсии: \[ \text{Var}(X) = \frac{1 - 0.3}{0.3^2} = \frac{0.7}{0.09} \approx 7.78 \]

Итак, математическое ожидание числа произведенных выстрелов составляет примерно 3.33, а дисперсия примерно 7.78.

Эти результаты показывают, что в среднем стрелку придется сделать около 3.33 выстрелов для попадания, при этом дисперсия (разброс значений) составляет около 7.78.