Найти математическое ожидание этой случайной величины, дисперсию, второй начальный момент и третий центральный момент

Предмет: Теория вероятностей
Раздел: Случайные величины, математическое ожидание, дисперсия, моменты случайной величины

Условие задачи:
Случайная величина X — это число попаданий мяча в корзину при одном броске. Вероятность попадания равна p = 0{,}3.

Так как бросок один, то возможны только два исхода: попадание (1) или промах (0). Следовательно, X — это дискретная случайная величина, распределённая по бернуллиевскому закону с параметром p = 0{,}3.

1. Математическое ожидание

Для распределения Бернулли с параметром p математическое ожидание вычисляется по формуле:

 \mathbb{E}[X] = p 

Подставим значение:

 \mathbb{E}[X] = 0{,}3 

2. Дисперсия

Для распределения Бернулли дисперсия вычисляется по формуле:

 \text{Var}(X) = p(1 - p) 

Подставим:

 \text{Var}(X) = 0{,}3 \cdot (1 - 0{,}3) = 0{,}3 \cdot 0{,}7 = 0{,}21 

3. Второй начальный момент

Начальные моменты определяются как:

 \mu'_k = \mathbb{E}[X^k] 

Второй начальный момент:

 \mu'_2 = \mathbb{E}[X^2] 

Так как X принимает значения 0 и 1, и 1^2 = 1, 0^2 = 0, то:

 \mathbb{E}[X^2] = 0^2 \cdot P(X=0) + 1^2 \cdot P(X=1) = 0 \cdot (1 - p) + 1 \cdot p = p 

Следовательно:

 \mu'_2 = 0{,}3 

4. Третий центральный момент

Центральные моменты определяются как:

 \mu_k = \mathbb{E}[(X - \mathbb{E}[X])^k] 

Третий центральный момент:

 \mu_3 = \mathbb{E}[(X - \mathbb{E}[X])^3] 

Подставим значения:

 \mathbb{E}[X] = 0{,}3 

Возможные значения X: 0 и 1.

Вычислим:

 \mu_3 = (0 - 0{,}3)^3 \cdot P(X = 0) + (1 - 0{,}3)^3 \cdot P(X = 1) 

 = (-0{,}3)^3 \cdot (1 - 0{,}3) + (0{,}7)^3 \cdot 0{,}3 

 = (-0{,}027) \cdot 0{,}7 + 0{,}343 \cdot 0{,}3 = -0{,}0189 + 0{,}1029 = 0{,}084 

Ответ:

• Математическое ожидание: \mathbb{E}[X] = 0{,}3
• Дисперсия: \text{Var}(X) = 0{,}21
• Второй начальный момент: \mu'_2 = 0{,}3
• Третий центральный момент: \mu_3 = 0{,}084