Найти математические ожидания случайных величин

Предмет: Теория вероятностей и математическая статистика
Раздел: Случайные величины. Математическое ожидание. Свойства математического ожидания

Дано:

Случайные величины X и Y независимы и имеют следующие характеристики:

M[X] = 1, M[Y] = 2, \sigma_X = 1, \sigma_Y = 2

Найти математические ожидания случайных величин:

U = X^2 + 2Y^2 - XY - 4X + Y + 4
V = (X + Y - 1)^2

Шаг 1: Найдём M[U]

Используем линейность математического ожидания:

 M[U] = M[X^2] + 2M[Y^2] - M[XY] - 4M[X] + M[Y] + 4 

Найдем каждое слагаемое отдельно:

1. M[X^2] = D[X] + (M[X])^2 = \sigma_X^2 + (M[X])^2 = 1^2 + 1^2 = 2
2. M[Y^2] = D[Y] + (M[Y])^2 = \sigma_Y^2 + (M[Y])^2 = 2^2 + 2^2 = 4 + 4 = 8
3. M[XY] = M[X] \cdot M[Y] = 1 \cdot 2 = 2 (так как X и Y независимы)
4. M[X] = 1
5. M[Y] = 2

Теперь подставим:

 M[U] = 2 + 2 \cdot 8 - 2 - 4 \cdot 1 + 2 + 4 = 2 + 16 - 2 - 4 + 2 + 4 = 18 

Шаг 2: Найдём M[V], где V = (X + Y - 1)^2

Раскроем квадрат:

 V = (X + Y - 1)^2 = X^2 + Y^2 + 1 - 2XY - 2X - 2Y + 2XY 

Ошибка! Раскроем правильно:

 V = (X + Y - 1)^2 = (X + Y)^2 - 2(X + Y) + 1 = X^2 + 2XY + Y^2 - 2X - 2Y + 1 

Теперь найдём математическое ожидание:

 M[V] = M[X^2] + 2M[XY] + M[Y^2] - 2M[X] - 2M[Y] + 1 

Подставим уже известные значения:

• M[X^2] = 2
• M[Y^2] = 8
• M[XY] = 2
• M[X] = 1
• M[Y] = 2

 M[V] = 2 + 2 \cdot 2 + 8 - 2 \cdot 1 - 2 \cdot 2 + 1 = 2 + 4 + 8 - 2 - 4 + 1 = 9 

Ответ:

M[U] = 18
M[V] = 9