Найти математические ожидание и дисперсию случайной величины, а так же вероятность того, что будет искажено не более 3 символов

Определение предмета и раздела

Задание связано с математикой, а именно с теорией вероятностей и математической статистикой. Мы рассматриваем дискретную случайную величину, которая отражает количество искажённых символов при передаче сообщения.

Решение:

Допустим, что сообщение содержит 1000 символов, и вероятность того, что любой символ будет искажен, составляет \( p = 0.004 \) (4/1000), а вероятность того, что символ НЕ будет искажён, будет \( q = 1 - p = 0.996 \).

1) Математическое ожидание

Это задача на биноминальное распределение: событие "символ искажён" происходит с вероятностью \( p \), и таких событий всего \( n = 1000 \). Математическое ожидание для биноминального распределения определяется как:

\[ \mathbb{E} = n \cdot p \]

При подстановке значений получим:

\[ \mathbb{E} = 1000 \cdot 0.004 = 4 \]

То есть, в среднем мы ожидаем, что будет искажено 4 символа из 1000.

2) Дисперсия

Дисперсия для биномиального распределения определяется по формуле:

\[ \text{Var}(X) = n \cdot p \cdot q \]

Подставляем значения:

\[ \text{Var}(X) = 1000 \cdot 0.004 \cdot 0.996 = 3.984 \]

Таким образом, дисперсия равна 3.984.

3) Вероятность того, что будет искажено не более 3 символов

Для этого воспользуемся формулой для биномиального распределения:

\[ P(X = k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot q^{n-k} \]

Где \( \binom{n}{k} \) — это биномиальный коэффициент. Для вычисления вероятности того, что будет искажено не более 3 символов, нужно найти сумму вероятностей для случаев \(X = 0\), \(X = 1\), \(X = 2\), и \(X = 3\):

\[ P(X \leq 3) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) \]

Рассчитаем каждую из этих вероятностей.

\[ P(X = 0) = \binom{1000}{0} \cdot (0.004)^0 \cdot (0.996)^{1000} = (1) \cdot (1) \cdot (0.996)^{1000} \approx 0.0181 \]

\[ P(X = 1) = \binom{1000}{1} \cdot (0.004)^1 \cdot (0.996)^{999} = 1000 \cdot 0.004 \cdot (0.996)^{999} \approx 0.0726 \]

\[ P(X = 2) = \binom{1000}{2} \cdot (0.004)^2 \cdot (0.996)^{998} = \frac{1000 \cdot 999}{2} \cdot 0.004^2 \cdot (0.996)^{998} \approx 0.1469 \]

\[ P(X = 3) = \binom{1000}{3} \cdot (0.004)^3 \cdot (0.996)^{997} \approx 0.1954 \]

Теперь суммируем эти вероятности:

\[ P(X \leq 3) = 0.0181 + 0.0726 + 0.1469 + 0.1954 = 0.433 \]

Ответ:

• Математическое ожидание (среднее количество искажённых символов): 4.
• Дисперсия: 3.984.
• Вероятность того, что будет искажено не более 3 символов: 0.433.

Итак, вероятность того, что будет искажено не более 3 символов, приближённо равна 0.433 или 43.3\%.