Найти M (число взятых белых шаров), D(число взятых белых шаров), о (число взятых белых шаров)

Это задание относится к предмету "Теория вероятностей и математическая статистика" и к разделу дискретных случайных величин и их числовых характеристик.

Для решения задания, сначала найдем основные параметры случайной величины \(X\), представляющей собой число белых шаров среди трех выбранных шаров.

Найдем \(M(X)\) (математическое ожидание \(X\))

Рассмотрим, сколько всего различных способов выбора 3 шаров из 7 существует:

\[ C^{3}_{7} = \binom{7}{3} = \frac{7!}{3! \cdot (7-3)!} = 35 \]

Теперь, поскольку нас интересует количество белых шаров, перечислим вероятности всех возможных значений \(X\):

• \(X = 0\) (все три шара черные): \[ P(X = 0) = \frac{C^{3}_{3}}{C^{3}_{7}} = \frac{1}{35} \] Здесь мы выбираем 3 черных из 3 черных.
• \(X = 1\) (один шар белый, два черных): \[ P(X = 1) = \frac{C^{1}_{4} \cdot C^{2}_{3}}{C^{3}_{7}} = \frac{\binom{4}{1} \cdot \binom{3}{2}}{\binom{7}{3}} = \frac{12}{35} \]
• \(X = 2\) (два шара белых, один черный): \[ P(X = 2) = \frac{C^{2}_{4} \cdot C^{1}_{3}}{C^{3}_{7}} = \frac{\binom{4}{2} \cdot \binom{3}{1}}{\binom{7}{3}} = \frac{18}{35} \]
• \(X = 3\) (все три шара белые): \[ P(X = 3) = \frac{C^{3}_{4}}{C^{3}_{7}} = \frac{\binom{4}{3}}{\binom{7}{3}} = \frac{4}{35} \]

Теперь можно найти математическое ожидание \(M(X)\):

\[ M(X) = \sum_{x=0}^{3} x \cdot P(X = x) = 0 \cdot \frac{1}{35} + 1 \cdot \frac{12}{35} + 2 \cdot \frac{18}{35} + 3 \cdot \frac{4}{35} = 0 + \frac{12}{35} + \frac{36}{35} + \frac{12}{35} = \frac{60}{35} = \frac{12}{7} \approx 1.714 \]

Найдем \(D(X)\) (дисперсия \(X\))

Для нахождения дисперсии нам нужно знать \(M(X^2)\). Найдем:

\[ M(X^2) = \sum_{x=0}^{3} x^2 \cdot P(X = x) = 0^2 \cdot \frac{1}{35} + 1^2 \cdot \frac{12}{35} + 2^2 \cdot \frac{18/35} + 3^2 \cdot \frac{4/35} \] \(M(X^2) = 0 + 1 \cdot \frac{12}{35} + 4 \cdot \frac{18}{35} + 9 \cdot \frac{4}{35} = \frac{12}{35} + \frac{72}{35} + \frac{36}{35} = \frac{120}{35} = \frac{24}/7\)

Теперь дисперсия:

\[ D(X) = M(X^2) - (M(X))^2 = \frac{24}{7} - \left(\frac{12}{7}\right)^2 = \frac{24}{7} - \frac{144}{49} \] Преобразуем дроби к общему знаменателю: \[ D(X) = \frac{24 \cdot 7}{49} - \frac{144}{49} = \frac{168}/49 - \frac{144}/49 = \frac{24}/49 \]

Найдем \(\sigma(X)\) (стандартное отклонение \(X\))

Стандартное отклонение есть квадратный корень из дисперсии:

\[ \sigma(X) = \sqrt{D(X)} = \sqrt{\frac{24}{49}} = \frac{\sqrt{24}}{7} = \frac{2\sqrt{6}}{7} \approx 0.984 \]

Итак, мы получили:

\(M(X) = \frac{12}{7}, \quad D(X) = \frac{24}{49}, \quad \sigma(X) = \frac{2\sqrt{6}}{7} \approx 0.984\)