Найти константу (a), чтобы (f(x)) была плотностью вероятности

Предмет: Теория вероятностей и математическая статистика
Раздел: Непрерывные случайные величины. Плотность вероятности и математическое ожидание.

Условие задачи:

Плотность вероятности случайной величины (X) задана функцией:

 f(x) = \begin{cases} a(1 - x^2), & x \in (-1, 1) \ 0, & x \notin (-1, 1) \end{cases} 

Требуется:

1. Найти константу (a), чтобы (f(x)) была плотностью вероятности.
2. Найти вероятность P(X \leq M[X]), где M[X] — математическое ожидание случайной величины (X).

Шаг 1: Найдём константу (a)

Так как (f(x)) — плотность вероятности, то по определению:

\int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx = 1

С учётом области определения:

 \int_{-1}^{1} a(1 - x^2) dx = 1 

Вынесем (a) за знак интеграла:

 a \int_{-1}^{1} (1 - x^2) dx = 1 

Вычислим интеграл:

 \int_{-1}^{1} (1 - x^2) dx = \int_{-1}^{1} 1 dx - \int_{-1}^{1} x^2 dx 

 = (x) \Big|_{-1}^{1} - \left(\frac{x^3}{3}\right) \Big|_{-1}^{1} = (1 - (-1)) - \left(\frac{1^3}{3} - \frac{(-1)^3}{3}\right) 

 = 2 - \left(\frac{1}{3} - \left(-\frac{1}{3}\right)\right) = 2 - \frac{2}{3} = \frac{4}{3} 

Теперь подставим:

 a \cdot \frac{4}{3} = 1 \Rightarrow a = \frac{3}{4} 

Шаг 2: Найдём математическое ожидание M[X]

По определению:

 M[X] = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) dx = \int_{-1}^{1} x \cdot a(1 - x^2) dx 

Подставим найденное значение (a = \frac{3}{4}):

 M[X] = \frac{3}{4} \int_{-1}^{1} x(1 - x^2) dx 

Раскроем скобки:

 \int_{-1}^{1} x(1 - x^2) dx = \int_{-1}^{1} (x - x^3) dx 

 = \left(\frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{4}\right) \Big|_{-1}^{1} = \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{4}\right) - \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{4}\right) = 0 

Значит:

 M[X] = \frac{3}{4} \cdot 0 = 0 

Шаг 3: Найдём P(X \leq M[X]) = P(X \leq 0)

 P(X \leq 0) = \int_{-1}^{0} f(x) dx = \int_{-1}^{0} \frac{3}{4}(1 - x^2) dx 

Вынесем константу:

 = \frac{3}{4} \int_{-1}^{0} (1 - x^2) dx 

Вычислим интеграл:

 \int_{-1}^{0} (1 - x^2) dx = \left(x - \frac{x^3}{3}\right) \Big|_{-1}^{0} = \left(0 - 0\right) - \left(-1 + \frac{1}{3}\right) = \frac{2}{3} 

Тогда:

 P(X \leq 0) = \frac{3}{4} \cdot \frac{2}{3} = \frac{1}{2} 

Ответ:

• Константа a = \frac{3}{4}
• P(X \leq M[X]) = \frac{1}{2}