Найти коэффициенты вариации и корреляции закона распределения составляющих x и y. Вычислить математическое ожидание дисперсию и средняя квадратичная отклонение cb x и cb y, корреляционный момент и коэффициент корреляции

Это задача по теории вероятностей и математической статистике. В частности, она касается изучения свойств двумерной случайной величины (X,Y).

Мы найдем коэффициенты вариации и корреляции, а также вычислим математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение для случайных величин X и Y.

• Математическое ожидание: Для нахождения математического ожидания E(X) и E(Y) нужно воспользоваться следующей формулой: E(X) = \sum_{i,j} x_i \cdot p_{ij}, \quad E(Y) = \sum_{i,j} y_j \cdot p_{ij},
  где x_i и y_j — значения, которые принимает случайная величина X и Y соответственно, а p_{ij} — вероятность P(X=x_i, Y=y_j).

  X\Y	-2	-1	0	2
  -1	0.02	0.05	0.04	0.10
  2	0.03	0.08	0.05	0.20
  4	0.02	0.05	0.06	0.30

  Вычислим E(X):
  E(X) = \sum_{x \in X} x \cdot P(X=x) = (-1) \cdot (0.02 + 0.05 + 0.04 + 0.10) + 2 \cdot (0.03 + 0.08 + 0.05 + 0.20) + 4 \cdot (0.02 + 0.05 + 0.06 + 0.30)
  E(X) = -1 \cdot 0.21 + 2 \cdot 0.36 + 4 \cdot 0.43 = -0.21 + 0.72 + 1.72 = 2.51 Вычислим E(Y):
  E(Y) = \sum_{y \in Y} y \cdot P(Y=y) = (-2) \cdot (0.02 + 0.03 + 0.02) + (-1) \cdot (0.05 + 0.08 + 0.05) + 0 \cdot (0.04 + 0.05 + 0.06) + 2 \cdot (0.10 + 0.20 + 0.30)
  E(Y) = -2 \cdot 0.07 + -1 \cdot 0.18 + 0 \cdot 0.15 + 2 \cdot 0.60 = -0.14 - 0.18 + 0 + 1.20 = 0.88
• Дисперсия: Формулы для дисперсий X и Y таковы:
  Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2, \quad Var(Y) = E(Y^2) - [E(Y)]^2.
  Вычислим E(X^2):
  E(X^2) = \sum_{x \in X} x^2 \cdot P(X=x) = (-1)^2 \cdot 0.21 + 2^2 \cdot 0.36 + 4^2 \cdot 0.43
  E(X^2) = 1 \cdot 0.21 + 4 \cdot 0.36 + 16 \cdot 0.43 = 0.21 + 1.44 + 6.88 = 8.53
  Var(X) = 8.53 - (2.51)^2 = 8.53 - 6.3001 = 2.2299
  Вычислим E(Y^2):
  E(Y^2) = \sum_{y \in Y} y^2 \cdot P(Y=y) = (-2)^2 \cdot 0.07 + (-1)^2 \cdot 0.18 + 0^2 \cdot 0.15 + 2^2 \cdot 0.60
  E(Y^2) = 4 \cdot 0.07 + 1 \cdot 0.18 + 0 \cdot 0.15 + 4 \cdot 0.60 = 0.28 + 0.18 + 0 + 2.40 = 2.86
  Var(Y) = 2.86 - (0.88)^2 = 2.86 - 0.7744 = 2.0856
• Среднее квадратическое отклонение:
  \sigma_X = \sqrt{Var(X)} = \sqrt{2.2299} \approx 1.4933
  \sigma_Y = \sqrt{Var(Y)} = \sqrt{2.0856} \approx 1.444
• Корреляционный момент и коэффициент корреляции:
  Cov(X, Y) = E(XY) - E(X)E(Y)
  Вычислим E(XY):
  E(XY) = \sum_{i,j} x_i y_j p_{ij} = (-1 \cdot -2) \cdot 0.02 + (-1 \cdot -1) \cdot 0.05 + (-1 \cdot 0) \cdot 0.04 + (-1 \cdot 2) \cdot 0.10
  \quad + (2 \cdot -2) \cdot 0.03 + (2 \cdot -1) \cdot 0.08 + (2 \cdot 0) \cdot 0.05 + (2 \cdot 2) \cdot 0.20
  \quad + (4 \cdot -2) \cdot 0.02 + (4 \cdot -1) \cdot 0.05 + (4 \cdot 0) \cdot 0.06 + (4 \cdot 2) \cdot 0.30
  E(XY) = 0.04 + 0.05 + 0 + (-0.2) + (-0.12) + (-0.16) + 0 + 0.8 + (-0.16) + (-0.2) + 0 + 2.4 = 2.65
  Cov(X, Y) = E(XY) - E(X)E(Y) = 2.65 - 2.51 \cdot 0.88 = 2.65 - 2.2088 = 0.4412
  Коэффициент корреляции:
  \rho_{X,Y} = \frac{Cov(X, Y)}{\sigma_X \sigma_Y} = \frac{0.4412}{1.4933 \cdot 1.444} \approx 0.2053

Итак, были найдены математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение и коэффициенты корреляции для случайных величин X и Y.