Найти коэффициент ковариации

Предмет: Статистика

Раздел: Ковариация

Решение задания:

Сначала напомню формулу для вычисления ковариации между двумя переменными \(X\) и \(Y\): \[ \text{Cov}(X, Y) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (X_i - \overline{X})(Y_i - \overline{Y}) \] где:

• \( n \) — количество наблюдений,
• \( X_i \) — значения переменной \(X\),
• \( Y_i \) — значения переменной \(Y\),
• \( \overline{X} \) — среднее значение переменной \(X\),
• \( \overline{Y} \) — среднее значение переменной \(Y\).

Шаги решения:

Шаг 1: Найдем средние значения \(X\) и \(Y\):

\[ \overline{X} = \frac{3 + 4 + 9 + 11 + 12}{5} = \frac{39}{5} = 7.8 \]

\[ \overline{Y} = \frac{9 + 5 + 2 + 3 + 1}{5} = \frac{20}{5} = 4 \]

Шаг 2: Вычислим отклонения каждого значения от среднего:

\[ \begin{array}{|c|c|c|} \hline X_i & X_i - \overline{X} & (X_i - \overline{X})(Y_i - \overline{Y}) \\ \hline 3 & 3 - 7.8 = -4.8 & (-4.8)(9 - 4) = -4.8 \times 5 = -24 \\ \hline 4 & 4 - 7.8 = -3.8 & (-3.8)(5 - 4) = -3.8 \times 1 = -3.8 \\ \hline 9 & 9 - 7.8 = 1.2 & (1.2)(2 - 4) = 1.2 \times (-2) = -2.4 \\ \hline 11 & 11 - 7.8 = 3.2 & (3.2)(3 - 4) = 3.2 \times (-1) = -3.2 \\ \hline 12 & 12 - 7.8 = 4.2 & (4.2)(1 - 4) = 4.2 \times (-3) = -12.6 \\ \hline \end{array} \]

Шаг 3: Найдем сумму произведений отклонений:

\[ \sum_{i=1}^{n} (X_i - \overline{X})(Y_i - \overline{Y}) = -24 - 3.8 - 2.4 - 3.2 - 12.6 = -46 \]

Шаг 4: Найдем ковариацию:

\[ \text{Cov}(X, Y) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (X_i - \overline{X})(Y_i - \overline{Y}) = \frac{-46}{5} = -9.2 \]

Ответ: Коэффициент ковариации между \(X\) и \(Y\) равен \( -9.2 \).