Найти интегральную функцию распределения F(x), построить ее график графически

Предмет: Теория вероятностей и математическая статистика
Раздел: Случайные величины и их распределения — интегральная функция распределения (ФР)

Условие задачи:

Для варианта 27 даны параметры:

• [a = 1]
• [b = 2]
• [k = 3]
• [c = 1.5]
• [d = 2]

Плотность распределения:  f(x) = \begin{cases} 0, & x \leq a \ me^{kx}, & a < x \leq b \ 0, & x > b \end{cases} 

Найти интегральную функцию распределения [F(x)] и построить её график.

Шаг 1: Нормировка плотности

Так как [f(x)] — плотность вероятности, её интеграл по всей числовой прямой должен быть равен 1:

 \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = 1 

Учитывая, что [f(x) = me^{kx}] только на интервале [a < x \leq b], получаем:

 \int_{a}^{b} me^{kx} dx = 1 

Подставим значения [a = 1], [b = 2], [k = 3]:

 \int_{1}^{2} me^{3x} dx = 1 

Вычислим интеграл:

 m \int_{1}^{2} e^{3x} dx = m \cdot \left[ \frac{e^{3x}}{3} \right]_1^2 = m \cdot \frac{e^6 - e^3}{3} 

Приравниваем к 1:

 m \cdot \frac{e^6 - e^3}{3} = 1 

Отсюда:

 m = \frac{3}{e^6 - e^3} 

Шаг 2: Интегральная функция распределения [F(x)]

 F(x) = \int_{-\infty}^{x} f(t)\,dt 

Рассмотрим по частям:

1) Для [x \leq 1] (до точки [a]):

 F(x) = 0 

2) Для [1 < x \leq 2]:

 F(x) = \int_{1}^{x} me^{3t} dt = m \cdot \left[ \frac{e^{3t}}{3} \right]_1^x = m \cdot \frac{e^{3x} - e^3}{3} 

Подставим [m = \frac{3}{e^6 - e^3}]:

 F(x) = \frac{3}{e^6 - e^3} \cdot \frac{e^{3x} - e^3}{3} = \frac{e^{3x} - e^3}{e^6 - e^3} 

3) Для [x > 2]:

 F(x) = 1 

Ответ:

Интегральная функция распределения [F(x)] имеет вид:

 F(x) = \begin{cases} 0, & x \leq 1 \ \frac{e^{3x} - e^3}{e^6 - e^3}, & 1 < x \leq 2 \ 1, & x > 2 \end{cases} 

График функции [F(x)]

Построим график по частям:

• На [x \leq 1]: горизонтальная линия [F(x) = 0]
• На [1 < x \leq 2]: плавно возрастающая экспоненциальная кривая от 0 до 1
• На [x > 2]: горизонтальная линия [F(x) = 1]

Вот график:

Если хочешь, я могу построить график численно в Python или другом инструменте.