Найти интегральную функцию распределения F(x), построить ее график

Предмет: Теория вероятностей и математическая статистика
Раздел: Непрерывные случайные величины. Функция распределения и плотность вероятности.

Задание:

Для варианта 27 дана плотность распределения:

 f(x) = \begin{cases} 0, & x \leq a, \ me^{kx}, & a < x \leq b, \ 0, & x > b. \end{cases} 

Из таблицы для варианта 27:

• a = 1
• b = 2
• k = 3

Найти:

1. Интегральную функцию распределения F(x)
2. Построить график F(x)

Шаг 1: Нормировка плотности вероятности

Плотность вероятности должна удовлетворять условию:

 \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = 1 

Так как f(x) = me^{kx} только на отрезке (a, b], то:

 \int_{a}^{b} me^{kx} dx = 1 

Подставим значения:

 \int_{1}^{2} me^{3x} dx = 1 

Вычислим интеграл:

 \int_{1}^{2} me^{3x} dx = m \cdot \left[\frac{e^{3x}}{3}\right]_{1}^{2} = m \cdot \left(\frac{e^{6} - e^{3}}{3}\right) 

Приравниваем к 1:

 m \cdot \left(\frac{e^{6} - e^{3}}{3}\right) = 1 

Отсюда:

 m = \frac{3}{e^{6} - e^{3}} 

Шаг 2: Интегральная функция распределения F(x)

Интегральная функция распределения:

 F(x) = \int_{-\infty}^{x} f(t)\,dt 

Рассмотрим по частям:

1) Если x \leq 1 (то есть x \leq a), то:

 F(x) = 0 

2) Если 1 < x \leq 2 (то есть a < x \leq b), то:

 F(x) = \int_{1}^{x} me^{3t} dt = m \cdot \left[\frac{e^{3t}}{3}\right]_{1}^{x} = m \cdot \left(\frac{e^{3x} - e^{3}}{3}\right) 

Подставим m = \frac{3}{e^{6} - e^{3}}:

 F(x) = \frac{3}{e^{6} - e^{3}} \cdot \left(\frac{e^{3x} - e^{3}}{3}\right) = \frac{e^{3x} - e^{3}}{e^{6} - e^{3}} 

3) Если x > 2, то:

 F(x) = 1 

Ответ: Интегральная функция распределения F(x)

 F(x) = \begin{cases} 0, & x \leq 1, \ \frac{e^{3x} - e^{3}}{e^{6} - e^{3}}, & 1 < x \leq 2, \ 1, & x > 2. \end{cases} 

График функции F(x)

Построим график по частям:

• На интервале (-\infty, 1] — горизонтальная линия F(x) = 0
• На интервале (1, 2] — плавный рост от 0 до 1 по экспоненциальному закону.
• На интервале (2, \infty) — горизонтальная линия F(x) = 1

? Ниже приведён график:

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Параметры
a = 1
b = 2
k = 3
m = 3 / (np.exp(6) - np.exp(3))

# Функция распределения
def F(x):
    if x <= a:
        return 0
    elif a < x <= b:
        return (np.exp(3 * x) - np.exp(3)) / (np.exp(6) - np.exp(3))
    else:
        return 1

# Векторизация
x_vals = np.linspace(0, 3, 500)
F_vals = [F(x) for x in x_vals]

# Построение графика
plt.figure(figsize=(8, 5))
plt.plot(x_vals, F_vals, label='F(x)', color='blue')
plt.title('Интегральная функция распределения F(x)')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('F(x)')
plt.grid(True)
plt.legend()
plt.show()

Если нужно — могу также построить график плотности f(x).