Найти интегральную функцию распределения F(x), построить ее график

Предмет: Теория вероятностей и математическая статистика
Раздел: Непрерывные случайные величины, функции плотности и распределения

Дано: Вариант 27
Функция плотности:

 f(x) = \begin{cases} 0, & x \leq a \ me^{kx}, & a < x \leq b \ 0, & x > b \end{cases} 

Параметры:

• a = 1,
• b = 2,
• k = 3,
• c = 1.5,
• d = 2

Шаг 1. Найдём нормировочную константу m

Так как f(x) — плотность вероятности, то:

 \int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx = 1 

Подставим выражение для f(x):

 \int_a^b me^{kx} dx = 1 

 m \int_1^2 e^{3x} dx = 1 

Вычислим интеграл:

 \int_1^2 e^{3x} dx = \frac{1}{3} e^{3x} \Big|_1^2 = \frac{1}{3}(e^6 - e^3) 

Тогда:

 m \cdot \frac{1}{3}(e^6 - e^3) = 1 \Rightarrow m = \frac{3}{e^6 - e^3} 

Шаг 2. Найдём интегральную функцию распределения F(x)

Интегральная функция распределения:

 F(x) = P(X \leq x) = \int_{-\infty}^{x} f(t) dt 

Случайно разбиваем на три области:

1. Если x \leq 1: F(x) = 0

2. Если 1 < x \leq 2:  F(x) = \int_1^x me^{3t} dt = m \cdot \frac{1}{3}(e^{3x} - e^3) 

Подставим m = \frac{3}{e^6 - e^3}:

 F(x) = \frac{3}{e^6 - e^3} \cdot \frac{1}{3}(e^{3x} - e^3) = \frac{e^{3x} - e^3}{e^6 - e^3} 

3. Если x > 2: F(x) = 1

Итак, интегральная функция распределения:

 F(x) = \begin{cases} 0, & x \leq 1 \ \frac{e^{3x} - e^3}{e^6 - e^3}, & 1 < x \leq 2 \ 1, & x > 2 \end{cases} 

Шаг 3. Построим график функции F(x)

График будет состоять из:

• Горизонтального отрезка на x \leq 1 со значением 0,
• Гладко возрастающей кривой на 1 < x \leq 2,
• Горизонтального отрезка на x > 2 со значением 1.

(График можно построить по формуле в Python или вручную).

Шаг 4. Найдём математическое ожидание E(X)

 E(X) = \int_a^b x f(x) dx = \int_1^2 x \cdot m e^{3x} dx 

Вычислим:

 E(X) = m \int_1^2 x e^{3x} dx 

Интегрируем по частям: Пусть u = x, dv = e^{3x} dx
Тогда du = dx, v = \frac{1}{3}e^{3x}

 \int x e^{3x} dx = \frac{x}{3}e^{3x} - \int \frac{1}{3} e^{3x} dx = \frac{x}{3}e^{3x} - \frac{1}{9}e^{3x} 

Подставим пределы:

 \int_1^2 x e^{3x} dx = \left( \frac{x}{3}e^{3x} - \frac{1}{9}e^{3x} \right) \Big|_1^2 

 = \left( \frac{2}{3}e^6 - \frac{1}{9}e^6 \right) - \left( \frac{1}{3}e^3 - \frac{1}{9}e^3 \right) = \left( \frac{5}{9}e^6 - \frac{2}{9}e^3 \right) 

Теперь подставим m = \frac{3}{e^6 - e^3}:

 E(X) = \frac{3}{e^6 - e^3} \cdot \left( \frac{5}{9}e^6 - \frac{2}{9}e^3 \right) = \frac{1}{3} \cdot \frac{5e^6 - 2e^3}{e^6 - e^3} 

Шаг 5. Найдём дисперсию D(X)

 D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 

Сначала найдём E(X^2):

 E(X^2) = \int_1^2 x^2 \cdot m e^{3x} dx = m \int_1^2 x^2 e^{3x} dx 

Интегрируем по частям дважды или используем табличный интеграл:

 \int x^2 e^{3x} dx = e^{3x} \left( \frac{x^2}{3} - \frac{2x}{9} + \frac{2}{27} \right) 

Подставим пределы:

 \int_1^2 x^2 e^{3x} dx = e^6 \left( \frac{4}{3} - \frac{4}{9} + \frac{2}{27} \right) - e^3 \left( \frac{1}{3} - \frac{2}{9} + \frac{2}{27} \right) 

Посчитаем:

 e^6 \left( \frac{36 - 12 + 2}{27} \right) = e^6 \cdot \frac{26}{27}, \quad e^3 \left( \frac{9 - 6 + 2}{27} \right) = e^3 \cdot \frac{5}{27} 

 E(X^2) = m \left( \frac{26}{27}e^6 - \frac{5}{27}e^3 \right) = \frac{3}{e^6 - e^3} \cdot \left( \frac{26}{27}e^6 - \frac{5}{27}e^3 \right) 

Теперь:

 D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 

Шаг 6. Найдём вероятность P(c < X < d)

 P(1.5 < X < 2) = \int_{1.5}^{2} f(x) dx = \int_{1.5}^{2} m e^{3x} dx 

 = m \cdot \frac{1}{3}(e^6 - e^{4.5}) = \frac{3}{e^6 - e^3} \cdot \frac{1}{3}(e^6 - e^{4.5}) = \frac{e^6 - e^{4.5}}{e^6 - e^3} 

Если нужно — могу дать численные значения или построить график.