-
Обозначим случайную величину: Пусть \( X \) — это случайная величина, которая показывает количество импортных телевизоров среди трех выбранных наудачу телевизоров. Каждый телевизор можно выбрать как импортный или отечественный, и соответственно \( X \) может принимать значения \( X = 0, 1, 2, 3 \) (то есть 0, 1, 2 или все 3 выбраны импортные).
-
Общая информация и вероятности: Всего телевизоров в магазине 5 отечественных и 3 импортных, итого \( 5 + 3 = 8 \) телевизоров. Мы выбираем наугад 3 телевизора без замены, то есть выбор производится по схеме гипергеометрического распределения, где:
- \( N = 8 \) (общее количество телевизоров),
- \( n = 3 \) (размер выборки — выбираем 3 телевизора),
- \( M = 3 \) (количество импортных телевизоров),
- \( N - M = 5 \) (количество отечественных телевизоров).
Вероятность того, что случайная величина \( X \) примет какое-то значение, можно вычислить по формуле гипергеометрического распределения:
\[
P(X = k) = \frac{\binom{M}{k} \binom{N - M}{n - k}}{\binom{N}{n}},
\]
где:
- \( \binom{a}{b} \) — это число сочетаний, которое вычисляется как \( \binom{a}{b} = \frac{a!}{b!(a - b)!} \).
-
Найдем вероятности для всех возможных значений \( X \):
-
Для \( X = 0 \) (нет импортных телевизоров, все три выбраны отечественные):
\[
P(X = 0) = \frac{\binom{3}{0} \binom{5}{3}}{\binom{8}{3}} = \frac{1 \cdot 10}{56} = \frac{10}{56} \approx 0.17857.
\]
-
Для \( X = 1 \) (один импортный телевизор и два отечественных):
\[
P(X = 1) = \frac{\binom{3}{1} \binom{5}{2}}{\binom{8}{3}} = \frac{3 \cdot 10}{56} = \frac{30}{56} \approx 0.53571.
\]
-
Для \( X = 2 \) (два импортных и один отечественный):
\[
P(X = 2) = \frac{\binom{3}{2} \binom{5}{1}}{\binom{8}{3}} = \frac{3 \cdot 5}{56} = \frac{15}{56} \approx 0.26786.
\]
-
Для \( X = 3 \) (все три телевизора импортные):
\[
P(X = 3) = \frac{\binom{3}{3} \binom{5}{0}}{\binom{8}{3}} = \frac{1 \cdot 1}{56} = \frac{1}{56} \approx 0.01786.
\]
Мы получили следующее распределение вероятностей:
\[
P(X = 0) \approx 0.17857, \quad P(X = 1) \approx 0.53571, \quad P(X = 2) \approx 0.26786, \quad P(X = 3) \approx 0.01786.
\]
-
Составим закон распределения случайной величины:
\[
\begin{array}{|c|c|}
\hline
X & P(X) \\
\hline
0 & 0.17857 \\
1 & 0.53571 \\
2 & 0.26786 \\
3 & 0.01786 \\
\hline
\end{array}
\]
-
Найдем функцию распределения \( F(X) \):
Функция распределения \( F(x) = P(X \leq x) \) находит накопленную вероятность для тех значений, которые меньше или равны \( x \):
- \( F(0) = P(X \leq 0) = P(X = 0) = 0.17857 \),
- \( F(1) = P(X \leq 1) = P(X = 0) + P(X = 1) = 0.17857 + 0.53571 = 0.71428 \),
- \( F(2) = P(X \leq 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) = 0.71428 + 0.26786 = 0.98214 \),
- \( F(3) = P(X \leq 3) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) = 0.98214 + 0.01786 = 1.00000 \).
Итак, функция распределения:
\[
F(x) =
\begin{cases}
0, & x < 0, \\
0.17857, & 0 \leq x < 1, \\
0.71428, & 1 \leq x < 2, \\
0.98214, & 2 \leq x < 3, \\
1, & x \geq 3.
\end{cases}
\]
-
Строим график функции распределения:
График функции распределения \( F(x) \) представляет собой ступенчатую функцию, которая принимает указанные значения на соответствующих интервалах.
- При \( x < 0 \), \( F(x) = 0 \),
- При \( 0 \leq x < 1 \), \( F(x) = 0.17857 \),
- При \( 1 \leq x < 2 \), \( F(x) = 0.71428 \),
- При \( 2 \leq x < 3 \), \( F(x) = 0.98214 \),
- При \( x \geq 3 \), \( F(x) = 1 \).
Это типичная ступенчатая функция.
-
Найдем математическое ожидание \( E(X) \):
Математическое ожидание \( E(X) \) случайной величины \( X \) вычисляется как:
\[
E(X) = \sum_{k=0}^{3} k \cdot P(X = k)
\]
Подставляем вероятности:
\[
E(X) = 0 \cdot P(X = 0) + 1 \cdot P(X = 1) + 2 \cdot P(X = 2) + 3 \cdot P(X = 3)
\]
\[
E(X) = 0 \cdot 0.17857 + 1 \cdot 0.53571 + 2 \cdot 0.26786 + 3 \cdot 0.01786 = 0 + 0.53571 + 0.53572 + 0.05358 = 1.12501.
\]