Найти функцию распределения и построить её график

Это задание из предмета теория вероятностей. В вопросе дана дискретная случайная величина с указанным рядом возможных значений \(x\) и их вероятностей \(p\). Теперь решим каждую часть задания.

Дано:

• Значения случайной величины: \(x = \{-1, 0, 2\}\)
• Соответствующие вероятности: \(p = \{0.1, 0.6, 0.3\}\)

a) Найдем функцию распределения \(F(x)\) и построим её график.

Функция распределения \(F(x)\) представляет собой вероятность того, что случайная величина \(X\) примет значение, меньшее либо равное \(x\). Она определяется как:

\[ F(x) = P(X \leq x) \]

Теперь построим \(F(x)\) для всех значений \(x\):

• Для \(x < -1\): случайная величина не может принять значение меньше -1, поэтому \(F(x) = 0\).
• Для \(x = -1\): вероятность, что \(X \leq -1\), равна \(P(X = -1) = 0.1\), следовательно, \(F(-1) = 0.1\).
• Для \(x = 0\): вероятность, что \(X \leq 0\), равна сумме вероятностей для \(X = -1\) и \(X = 0\), то есть \(F(0) = 0.1 + 0.6 = 0.7\).
• Для \(x = 2\): вероятность, что \(X \leq 2\), равна сумме всех вероятностей, то есть \(F(2) = 0.1 + 0.6 + 0.3 = 1\).
• Для \(x > 2\): вероятность \(F(x) = 1\), так как сумма всех возможных значений случайной величины равна единице.

Таким образом, функция распределения выглядит так:

График функции распределения:

Функция распределения \(F(x)\) для дискретной случайной величины имеет вид ступенчатой функции. Построим её вручную:

• На отрезке до \(-1\) функция равна 0.
• При \(x = -1\) — скачок до 0.1.
• При \(x = 0\) — скачок до 0.7.
• При \(x = 2\) — скачок до 1.

График будет состоять из горизонтальных участков на данных интервалах с соответствующими скачками на уровнях значений.

б) Найдем математическое ожидание \(M(x)\), дисперсию \(D(x)\) и среднеквадратичное отклонение \(\sigma(x)\).

Математическое ожидание \(M(X)\):

Математическое ожидание \(M(X)\) для дискретной случайной величины рассчитывается по формуле:

\[ M(X) = \sum_{i} p_i \cdot x_i \]

Где \(p_i\) — вероятности, а \(x_i\) — соответствующие значения. Подставляем данные:

\[ M(X) = (-1 \cdot 0.1) + (0 \cdot 0.6) + (2 \cdot 0.3) \\ M(X) = -0.1 + 0 + 0.6 = 0.5 \]

Значит, \(M(X) = 0.5\).

Дисперсия \(D(X)\):

Дисперсия \(D(X)\) рассчитывается по формуле:

\[ D(X) = \sum_{i} p_i \cdot (x_i - M(X))^2 \]

Сначала вычислим отклонения от математического ожидания и их квадраты:

• Для \(x = -1\): \( (x - M(X))^2 = (-1 - 0.5)^2 = 2.25 \)
• Для \(x = 0\): \( (x - M(X))^2 = (0 - 0.5)^2 = 0.25 \)
• Для \(x = 2\): \( (x - M(X))^2 = (2 - 0.5)^2 = 2.25 \)

Теперь подставим это в формулу для дисперсии:

\[ D(X) = (0.1 \cdot 2.25) + (0.6 \cdot 0.25) + (0.3 \cdot 2.25) \\ D(X) = 0.225 + 0.15 + 0.675 = 1.05 \]

Значит, \(D(X) = 1.05\).

Среднеквадратичное отклонение \(\sigma(X)\):

Среднеквадратичное отклонение — это корень квадратный из дисперсии:

в) Построим график функции распределения \(F(x)\) (эта часть уже включена в пункт а).

\[ \sigma(X) = \sqrt{D(X)} = \sqrt{1.05} \approx 1.0247 \]