Найти функцию распределения F(x) , если задана функция плотности непрерывной случайной величины

Условие:

Условие: условие на скриншоте

Решение:

Предмет: Теория вероятностей и математическая статистика
Раздел предмета: Непрерывные случайные величины
Задача: Найти функцию распределения \(F(x)\), если задана плотность вероятности \(f(x)\).

Условие: Функция плотности вероятности непрерывной случайной величины \(X\) задана:

\[f(x)={0,если x<1x12,если 1x<20,если x2\]

Решение: Функция распределения \(F(x)\) случайной величины \(X\) определяется как:

\[F(x)=P(Xx)=xf(t)dt\]

1. Определим \(F(x)\) для \(x<1\):

Подынтегральная функция равна нулю, так как плотность вероятности \(f(x)=0\) для \(x<1\):

\[F(x)=x0dt=0\]

2. Определим \(F(x)\) для \(1x<2\):

В этом интервале плотность вероятности равна \(f(t)=t12\):

\[F(x)=10dt+1x(t12)dt\]

Первая часть интеграла равна нулю:

\[10dt=0\]

Для второй части нам нужно вычислить интеграл:

\[1x(t12)dt=(t2212t)|1x\]

Подставляем пределы интегрирования:

\[=(x2212x)(1212)=(x2212x)0=x2212x\]

3. Определим \(F(x)\) для \(x2\):

В этом интервале плотность вероятности равна нулю для значений \(x2\) и интеграл будет включать предыдущие области:

\[F(x)=10dt+12(t12)dt+2x0dt\]

Первые две части интеграла уже были рассчитаны, где вторая часть интеграла для предела \(x=2\):

\[12(t12)dt=222122=21=1\]

Итак,

\[F(x)=1\]

Итог: Функция распределения \(F(x)\) будет:

\[F(x)={0,если x<1x2212x,если 1x<21,если x2\]

Не нашли нужного вам решения? Оставьте заявку и наши авторы быстро и качественно помогут вам с решением.
Оставить заявку
Работа вам нужна срочно. Не волнуйтесь, уложимся!

Узнайте стоимость работы онлайн

  • 22423 авторов готовы помочь тебе.
  • 2402 онлайн
Напишем БЕСПЛАТНО любую работу за 30 минут