Найти функцию распределения F(x) , если задана функция плотности непрерывной случайной величины

Предмет: Теория вероятностей и математическая статистика

Раздел предмета: Непрерывные случайные величины

Задача: Найти функцию распределения $\text{(}F(x)\text{)}$, если задана плотность вероятности $\text{(}f(x)\text{)}$.

Условие: Функция плотности вероятности непрерывной случайной величины $\text{(}X\text{)}$ задана:

$\text{[}f(x)=\{\begin{array}{ll}0,& \text{если }x<1\\ x-\frac{1}{2},& \text{если }1\le x<2\\ 0,& \text{если }x\ge 2\end{array}\text{]}$

Решение: Функция распределения $\text{(}F(x)\text{)}$ случайной величины $\text{(}X\text{)}$ определяется как:

$\text{[}F(x)=P(X\le x)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{x}f(t)dt\text{]}$

1. Определим $\text{(}F(x)\text{)}$ для $\text{(}x<1\text{)}$:

Подынтегральная функция равна нулю, так как плотность вероятности $\text{(}f(x)=0\text{)}$ для $\text{(}x<1\text{)}$:

$\text{[}F(x)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{x}0dt=0\text{]}$

2. Определим $\text{(}F(x)\text{)}$ для $\text{(}1\le x<2\text{)}$:

В этом интервале плотность вероятности равна $\text{(}f(t)=t-\frac{1}{2}\text{)}$:

$\text{[}F(x)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{1}0dt+{\int }_1^x(t-\frac{1}{2})dt\text{]}$

Первая часть интеграла равна нулю:

$\text{[}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{1}0dt=0\text{]}$

Для второй части нам нужно вычислить интеграл:

$\text{[}{\int }_1^x(t-\frac{1}{2})dt={(\frac{t^2}{2}-\frac{1}{2}t)|}_1^x\text{]}$

Подставляем пределы интегрирования:

$\text{[}=(\frac{x^2}{2}-\frac{1}{2}x)-(\frac{1}{2}-\frac{1}{2})=(\frac{x^2}{2}-\frac{1}{2}x)-0=\frac{x^2}{2}-\frac{1}{2}x\text{]}$

3. Определим $\text{(}F(x)\text{)}$ для $\text{(}x\ge 2\text{)}$:

В этом интервале плотность вероятности равна нулю для значений $\text{(}x\ge 2\text{)}$ и интеграл будет включать предыдущие области:

$\text{[}F(x)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{1}0dt+{\int }_1^2(t-\frac{1}{2})dt+{\int }_2^{x}0dt\text{]}$

Первые две части интеграла уже были рассчитаны, где вторая часть интеграла для предела $\text{(}x=2\text{)}$:

$\text{[}{\int }_1^2(t-\frac{1}{2})dt=\frac{2^2}{2}-\frac{1}{2}\cdot 2=2-1=1\text{]}$

Итак,

$\text{[}F(x)=1\text{]}$

Итог: Функция распределения $\text{(}F(x)\text{)}$ будет:

$\text{[}F(x)=\{\begin{array}{ll}0,& \text{если }x<1\\ \frac{x^2}{2}-\frac{1}{2}x,& \text{если }1\le x<2\\ 1,& \text{если }x\ge 2\end{array}\text{]}$