Найти функцию распределения F(x) , если задана функция плотности непрерывной случайной величины

Предмет: Теория вероятностей и математическая статистика

Раздел предмета: Непрерывные случайные величины

Задача: Найти функцию распределения \( F(x) \), если задана плотность вероятности \( f(x) \).

Условие: Функция плотности вероятности непрерывной случайной величины \( X \) задана:

\[ f(x) = \begin{cases} 0, & \text{если } x < 1 \\ x - \frac{1}{2}, & \text{если } 1 \leq x < 2 \\ 0, & \text{если } x \geq 2 \end{cases} \]

Решение: Функция распределения \( F(x) \) случайной величины \( X \) определяется как:

\[ F(x) = P(X \leq x) = \int_{-\infty}^{x} f(t) \, dt \]

1. Определим \( F(x) \) для \( x < 1 \):

Подынтегральная функция равна нулю, так как плотность вероятности \( f(x) = 0 \) для \( x < 1 \):

\[ F(x) = \int_{-\infty}^{x} 0 \, dt = 0 \]

2. Определим \( F(x) \) для \( 1 \leq x < 2 \):

В этом интервале плотность вероятности равна \( f(t) = t - \frac{1}{2} \):

\[ F(x) = \int_{-\infty}^{1} 0 \, dt + \int_{1}^{x} \left( t - \frac{1}{2} \right) \, dt \]

Первая часть интеграла равна нулю:

\[ \int_{-\infty}^{1} 0 \, dt = 0 \]

Для второй части нам нужно вычислить интеграл:

\[ \int_{1}^{x} \left( t - \frac{1}{2} \right) \, dt = \left. \left( \frac{t^2}{2} - \frac{1}{2}t \right) \right|_{1}^{x} \]

Подставляем пределы интегрирования:

\[ = \left( \frac{x^2}{2} - \frac{1}{2}x \right) - \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \right) = \left( \frac{x^2}{2} - \frac{1}{2}x \right) - 0 = \frac{x^2}{2} - \frac{1}{2}x \]

3. Определим \( F(x) \) для \( x \geq 2 \):

В этом интервале плотность вероятности равна нулю для значений \( x \geq 2 \) и интеграл будет включать предыдущие области:

\[ F(x) = \int_{-\infty}^{1} 0 \, dt + \int_{1}^{2} \left( t - \frac{1}{2} \right) \, dt + \int_{2}^{x} 0 \, dt \]

Первые две части интеграла уже были рассчитаны, где вторая часть интеграла для предела \( x=2 \):

\[ \int_{1}^{2} \left( t - \frac{1}{2} \right) \, dt = \frac{2^2}{2} - \frac{1}{2} \cdot 2 = 2 - 1 = 1 \]

Итак,

\[ F(x) = 1 \]

Итог: Функция распределения \( F(x) \) будет:

\[ F(x) = \begin{cases} 0, & \text{если } x < 1 \\ \frac{x^2}{2} - \frac{1}{2}x, & \text{если } 1 \leq x < 2 \\ 1, & \text{если } x \geq 2 \end{cases} \]