Найти функцию распределения для заданной плотности вероятности

Данный пример относится к теории вероятностей, раздел непрерывных случайных величин и плотностей вероятности. Необходимо найти функцию распределения \( F(x) \) для заданной плотности вероятности \( f(x) \). Дано: \[ f(x) = \begin{cases} 0, & x < 0 \\ \sin x, & 0 \le x < \frac{\pi}{2} \\ 1, & x \ge \frac{\pi}{2} \end{cases} \] Функция распределения \( F(x) \) непрерывной случайной величины \( X \) определяется как интеграл от минус бесконечности до \( x \) от функции плотности вероятности \( f(t) \): \[ F(x) = \int_{-\infty}^{x} f(t) \, dt \] Определим \( F(x) \) для каждого участка:

Для \( x < 0 \):

\[ F(x) = \int_{-\infty}^{x} 0 \, dt = 0 \]

Для \( 0 \le x < \frac{\pi}{2} \):

\[ F(x) = \int_{-\infty}^{0} 0 \, dt + \int_{0}^{x} \sin t \, dt \] Поскольку интеграл от нуля до нуля равен нулю, остается: \[ F(x) = \int_{0}^{x} \sin t \, dt \] Вычислим интеграл: \[ F(x) = -\cos t \Big|_{0}^{x} = -\cos x - (-\cos 0) = -\cos x + 1 \] Следовательно: \[ F(x) = 1 - \cos x \]

Для \( x \ge \frac{\pi}{2} \):

\[ F(x) = \int_{-\infty}^{0} 0 \, dt + \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin t \, dt + \int_{\frac{\pi}{2}}^{x} 1 \, dt \] Первые два интеграла уже вычислялись, и результат для них: \[ F\left(\frac{\pi}{2}\right) = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin t \, dt = 1 \] Таким образом: \[ F(x) = 1 + \int_{\frac{\pi}{2}}^{x} 1 \, dt \] Поскольку \( \int_{\frac{\pi}{2}}^{x} 1 \, dt = x - \frac{\pi}{2} \): \[ F(x) = 1 + x - \frac{\pi}{2} \] \[ F(x) = x + 1 - \frac{\pi}{2} \] Следовательно, функция распределения \( F(x) \) выглядит так: \[ F(x) = \begin{cases} 0, & x < 0 \\ 1 - \cos x, & 0 \le x < \frac{\pi}{2} \\ x + 1 - \frac{\pi}{2}, & x \ge \frac{\pi}{2} \end{cases} \] Вот таким образом рассчитывается функция распределения для данной плотности вероятности \( f(x) \).