Найти функцию распределения для заданной плотности вероятности

Данный пример относится к теории вероятностей, раздел непрерывных случайных величин и плотностей вероятности. Необходимо найти функцию распределения $\text{(}F(x)\text{)}$ для заданной плотности вероятности $\text{(}f(x)\text{)}$. Дано: $\text{[}f(x)=\{\begin{array}{ll}0,& x<0\\ \sin x,& 0\le x<\frac{\pi }{2}\\ 1,& x\ge \frac{\pi }{2}\end{array}\text{]}$ Функция распределения $\text{(}F(x)\text{)}$ непрерывной случайной величины $\text{(}X\text{)}$ определяется как интеграл от минус бесконечности до $\text{(}x\text{)}$ от функции плотности вероятности $\text{(}f(t)\text{)}$: $\text{[}F(x)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{x}f(t)dt\text{]}$ Определим $\text{(}F(x)\text{)}$ для каждого участка:

Для $\text{(}x<0\text{)}$:

$\text{[}F(x)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{x}0dt=0\text{]}$

Для $\text{(}0\le x<\frac{\pi }{2}\text{)}$:

$\text{[}F(x)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{0}0dt+{\int }_0^x\sin tdt\text{]}$ Поскольку интеграл от нуля до нуля равен нулю, остается: $\text{[}F(x)={\int }_0^x\sin tdt\text{]}$ Вычислим интеграл: $\text{[}F(x)=-\cos t{|}_0^x=-\cos x-(-\cos 0)=-\cos x+1\text{]}$ Следовательно: $\text{[}F(x)=1-\cos x\text{]}$

Для $\text{(}x\ge \frac{\pi }{2}\text{)}$:

$\text{[}F(x)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{0}0dt+{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\sin tdt+{\int }_{\frac{\pi }{2}}^{x}1dt\text{]}$ Первые два интеграла уже вычислялись, и результат для них: $\text{[}F\left(\frac{\pi }{2}\right)={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\sin tdt=1\text{]}$ Таким образом: $\text{[}F(x)=1+{\int }_{\frac{\pi }{2}}^{x}1dt\text{]}$ Поскольку $\text{(}{\int }_{\frac{\pi }{2}}^{x}1dt=x-\frac{\pi }{2}\text{)}$: $\text{[}F(x)=1+x-\frac{\pi }{2}\text{]}$ $\text{[}F(x)=x+1-\frac{\pi }{2}\text{]}$ Следовательно, функция распределения $\text{(}F(x)\text{)}$ выглядит так: $\text{[}F(x)=\{\begin{array}{ll}0,& x<0\\ 1-\cos x,& 0\le x<\frac{\pi }{2}\\ x+1-\frac{\pi }{2},& x\ge \frac{\pi }{2}\end{array}\text{]}$ Вот таким образом рассчитывается функция распределения для данной плотности вероятности $\text{(}f(x)\text{)}$.