Найти функцию распределения

Предмет: Теория вероятностей

Раздел: Непрерывные случайные величины

Дана плотность распределения случайной величины ( X ): f(x) = \begin{cases} 0, & |x| > 1, \ c x^2, & |x| \leq 1. \end{cases}

Необходимо найти:

1. ( c ) (нормировочную константу),
2. Математическое ожидание ( M(X) ),
3. Функцию распределения ( F(x) ),
4. Вероятность ( P(-2 \leq X \leq \frac{1}{2}) ).

1. Найдём нормировочную константу ( c )

По свойству плотности вероятности, интеграл от функции плотности на всей области её определения равен 1: \int_{-\infty}^\infty f(x) \, dx = 1.

Так как ( f(x) = 0 ) при ( |x| > 1 ), интеграл берётся на интервале ( |x| \leq 1 ): \int_{-1}^1 c x^2 \, dx = 1.

Вычислим данный интеграл:  \int_{-1}^1 c x^2 \, dx = c \int_{-1}^1 x^2 \, dx = c \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{-1}^1 = c \left( \frac{1^3}{3} - \frac{(-1)^3}{3} \right) = c \cdot \frac{2}{3}. 

Приравниваем к 1: c \cdot \frac{2}{3} = 1 \implies c = \frac{3}{2}.

2. Найдём математическое ожидание ( M(X) )

Математическое ожидание для непрерывной случайной величины вычисляется как: M(X) = \int_{-\infty}^\infty x f(x) \, dx.

С учётом области определения ( f(x) ): M(X) = \int_{-1}^1 x \cdot \frac{3}{2} x^2 \, dx = \frac{3}{2} \int_{-1}^1 x^3 \, dx.

Вычислим интеграл:  \int_{-1}^1 x^3 \, dx = \left[ \frac{x^4}{4} \right]_{-1}^1 = \frac{1^4}{4} - \frac{(-1)^4}{4} = \frac{1}{4} - \frac{1}{4} = 0. 

Следовательно: M(X) = \frac{3}{2} \cdot 0 = 0.

3. Найдём функцию распределения ( F(x) )

Функция распределения определяется как: F(x) = P(X \leq x) = \int_{-\infty}^x f(t) \, dt.

Рассмотрим разные случаи для ( x ), так как ( f(x) ) имеет разные значения в зависимости от области ( x ):

1. Если ( x < -1 ):

F(x) = 0, \; \text{так как } f(t) = 0 \, \text{при } t < -1.

2. Если ( -1 \leq x \leq 1 ):

 F(x) = \int_{-1}^x \frac{3}{2} t^2 \, dt = \frac{3}{2} \int_{-1}^x t^2 \, dt. 

Вычислим:  \int_{-1}^x t^2 \, dt = \left[ \frac{t^3}{3} \right]_{-1}^x = \frac{x^3}{3} - \frac{(-1)^3}{3} = \frac{x^3}{3} + \frac{1}{3}. 

Подставляем:  F(x) = \frac{3}{2} \left( \frac{x^3}{3} + \frac{1}{3} \right) = \frac{1}{2} x^3 + \frac{1}{2}. 

3. Если ( x > 1 ):

F(x) = 1, \; \text{так как } f(t) = 0 \, \text{при } t > 1.

Итак, функция распределения:  F(x) = \begin{cases} 0, & x < -1, \ \frac{1}{2} x^3 + \frac{1}{2}, & -1 \leq x \leq 1, \ 1, & x > 1. \end{cases} 

4. Найдём вероятность ( P(-2 \leq X \leq \frac{1}{2}) )

Так как ( f(x) = 0 ) при ( |x| > 1 ), область интегрирования ограничивается интервалом ( [-1, \frac{1}{2}] ):  P(-2 \leq X \leq \frac{1}{2}) = \int_{-1}^{1/2} \frac{3}{2} x^2 \, dx. 

Вычислим данный интеграл:  \int_{-1}^{1/2} x^2 \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{-1}^{1/2} = \frac{\left( \frac{1}{2} \right)^3}{3} - \frac{(-1)^3}{3} = \frac{\frac{1}{8}}{3} - \frac{-1}{3} = \frac{1}{24} + \frac{1}{3} = \frac{1}{24} + \frac{8}{24} = \frac{9}{24} = \frac{3}{8}. 

Умножаем на ( \frac{3}{2} ):  P(-2 \leq X \leq \frac{1}{2}) = \frac{3}{2} \cdot \frac{3}{8} = \frac{9}{16}. 

Ответ:

1. ( c = \frac{3}{2} ),
2. ( M(X) = 0 ),
3. ( F(x) = \begin{cases} 0, & x < -1, \ \frac{1}{2} x^3 + \frac{1}{2}, & -1 \leq x \leq 1, \ 1, & x > 1, \end{cases} )
4. ( P(-2 \leq X \leq \frac{1}{2}) = \frac{9}{16}. )