Найти доверительный интервал для математического ожидания нормального распределения с неизвестной дисперсией

Этот вопрос относится к разделу "Статистика" в курсе "Математическая статистика" или "Теория вероятностей".

Здесь необходимо найти доверительный интервал для математического ожидания нормального распределения с неизвестной дисперсией. Дано:

• \(\bar{X} = 3\) - выборочное среднее
• \(t_v = 1.2\) - квантиль распределения Стьюдента (в данном контексте это множитель для доверительного интервала, хотя его значение обычно определяется через уровни значимости и форму распределения)
• \(n = 4\) - размер выборки
• \(S^2 = 3\) - выборочная дисперсия.

Нужно найти доверительный интервал для среднего \(\mu\).

Формула для доверительного интервала с неизвестной дисперсией:

\[\left(\bar{X} - t_{\alpha/2, n-1}\frac{S}{\sqrt{n}}, \bar{X} + t_{\alpha/2, n-1}\frac{S}{\sqrt{n}}\right)\]

1. Вычислим выборочное стандартное отклонение \(S\):
   \[S = \sqrt{S^2} = \sqrt{3} \approx 1.732\]
2. Величина \(t_{v}\) здесь уже дана, поэтому нет необходимости искать ее в таблице распределения Стьюдента.
3. Теперь подставим все данные в формулу доверительного интервала:
   \[\left(\bar{X} - t_v \frac{S}{\sqrt{n}}, \bar{X} + t_v \frac{S}{\sqrt{n}}\right)\]
4. Подставим числовые значения:
   \[\left(3 - 1.2 \frac{1.732}{\sqrt{4}}, 3 + 1.2 \frac{1.732}{\sqrt{4}}\right)\]
5. Вычислим знаменатель:
   \[\sqrt{4} = 2\]
6. Вычислим величину доверительного интервала:
   \[1.2 \cdot \frac{1.732}{2} = 1.2 \cdot 0.866 \approx 1.039\]
7. Определяем границы доверительного интервала:
   \[\left(3 - 1.039, 3 + 1.039\right)\]
   \[\left(1.961, 4.039\right)\]

Таким образом, доверительный интервал для неизвестного математического ожидания \(\mu\) составляет приблизительно (1.961, 4.039).