Найти доверительный интервал для математического ожидания [M(X)]

Предмет: Теория вероятностей и математическая статистика
Раздел: Интервальные оценки параметров распределения

Условие задачи

Дана выборка объема [n = 31] из нормально распределённой случайной величины [X] с неизвестными математическим ожиданием [M(X)] и дисперсией [D(X)]. По выборке вычислены:

• Выборочное среднее: [\bar{x} = 2{,}1]
• Выборочная дисперсия (несмещённая): [S_1^2 = 0{,}5]
• Доверительная вероятность: [\gamma = 0{,}8]

Требуется найти доверительный интервал для математического ожидания [M(X)].

Теория

Так как дисперсия неизвестна, и генеральная совокупность нормальная, для оценки математического ожидания используется распределение Стьюдента.

Формула для доверительного интервала для математического ожидания [M(X)]:

 \left( \bar{x} - t_{\frac{1+\gamma}{2}, n-1} \cdot \frac{S_1}{\sqrt{n}},\ \bar{x} + t_{\frac{1+\gamma}{2}, n-1} \cdot \frac{S_1}{\sqrt{n}} \right) 

Где:

• [\bar{x}] — выборочное среднее
• [S_1] — выборочное стандартное отклонение, [S_1 = \sqrt{S_1^2}]
• [n] — объем выборки
• [t_{\frac{1+\gamma}{2}, n-1}] — квантиль распределения Стьюдента с [n-1] степенями свободы

Решение

1. Найдём выборочное стандартное отклонение:

 S_1 = \sqrt{0{,}5} \approx 0{,}7071 

2. Степени свободы:

 n - 1 = 30 

3. Доверительная вероятность [\gamma = 0{,}8], значит:

 \frac{1 + \gamma}{2} = \frac{1 + 0{,}8}{2} = 0{,}9 

Нам нужен квантиль распределения Стьюдента [t_{0{,}9,\ 30}]. По таблице значений распределения Стьюдента:

 t_{0{,}9,\ 30} \approx 1{,}310 

4. Вычислим границы интервала:

 \Delta = t \cdot \frac{S_1}{\sqrt{n}} = 1{,}310 \cdot \frac{0{,}7071}{\sqrt{31}} \approx 1{,}310 \cdot \frac{0{,}7071}{5{,}568} \approx 1{,}310 \cdot 0{,}127 \approx 0{,}166 

5. Доверительный интервал:

 (2{,}1 - 0{,}166;\ 2{,}1 + 0{,}166) = (1{,}934;\ 2{,}266) 

Ответ:

Доверительный интервал для математического ожидания [M(X)] при доверительной вероятности [0{,}8]:

 [M(X)] \in (1{,}934;\ 2{,}266)