Найти дисперсию случайной величины

Определение предмета и раздела

Предмет: Математика
Раздел предмета: Теория вероятностей и математическая статистика.

Дано:

1. Тип распределения: Биномиальное распределение.
2. Число независимых испытаний \( n \): \( n = 5 \).
3. Вероятность наступления события \( p \): \( p = 0.2 \).
4. Необходимо найти дисперсию \( D(X) \) случайной величины.

Формула для дисперсии биномиального распределения:

Для биномиального распределения дисперсия случайной величины \( X \) вычисляется по формуле:

\[ D(X) = n \cdot p \cdot (1 - p), \]

где:

• \( n \) — число независимых испытаний,
• \( p \) — вероятность наступления события в одном испытании,
• \( 1 - p \) — вероятность того, что событие не наступит.

Подстановка известных значений:

Подставим \( n = 5 \) и \( p = 0.2 \) в формулу:

\[ D(X) = 5 \cdot 0.2 \cdot (1 - 0.2). \]

Вычислим пошагово:

1. \( 1 - 0.2 = 0.8 \),
2. \( 0.2 \cdot 0.8 = 0.16 \),
3. \( 5 \cdot 0.16 = 0.8 \).

Ответ:

\[ D(X) = 0.8. \]

Пояснение:

Биномиальное распределение описывает число успехов в \( n \)-независимых испытаниях при заданной вероятности успеха \( p \). Формула дисперсии показывает, как сильно значения случайной величины могут отклоняться от её математического ожидания. Дисперсия зависит от числа испытаний \( n \), вероятности успеха \( p \), а также вероятности неуспеха \( 1 - p \).

Дисперсия случайной величины равна: