Найти числовые характеристики: математическое ожидание (M[X]), дисперсию (D[X])

Предмет: Теория вероятностей и математическая статистика
Раздел: Случайные величины и их числовые характеристики

Дано:
Случайная величина (X) задана следующим законом распределения:

1. Найти числовые характеристики: математическое ожидание (M[X]), дисперсию (D[X])

Математическое ожидание:

 M[X] = \sum_{i=1}^{n} x_i \cdot p_i = 4 \cdot 0.2 + 6 \cdot 0.3 + 8 \cdot 0.1 + 10 \cdot 0.2 + 12 \cdot 0.2 

 M[X] = 0.8 + 1.8 + 0.8 + 2.0 + 2.4 = 7.8 

Дисперсия:

Сначала найдём E[X^2]:

 E[X^2] = \sum_{i=1}^{n} x_i^2 \cdot p_i = 4^2 \cdot 0.2 + 6^2 \cdot 0.3 + 8^2 \cdot 0.1 + 10^2 \cdot 0.2 + 12^2 \cdot 0.2 

 E[X^2] = 16 \cdot 0.2 + 36 \cdot 0.3 + 64 \cdot 0.1 + 100 \cdot 0.2 + 144 \cdot 0.2 = 3.2 + 10.8 + 6.4 + 20 + 28.8 = 69.2 

Теперь дисперсия:

 D[X] = E[X^2] - (E[X])^2 = 69.2 - (7.8)^2 = 69.2 - 60.84 = 8.36 

2. Функция распределения (F(x)) и график

Функция распределения (F(x)) — это сумма вероятностей на промежутке:

[ F(x) = \begin{cases} 0, & x < 4 \ 0.2, & 4 \le x < 6 \ 0.5, & 6 \le x < 8 \ 0.6, & 8 \le x < 10 \ 0.8, & 10 \le x < 12 \ 1.0, & x \ge 12 \ \end{cases} ]

Построим график (F(x)):
График будет ступенчатой функцией, начинающейся в точке (x = 4) с высоты 0.2, далее ступени на 0.3, 0.1, 0.2, 0.2.

3. Найти вероятность P(x_2 \le X \le x_4), используя (F(x))

Значения:
x_2 = 6, x_4 = 10

 P(6 \le X \le 10) = P(X = 6) + P(X = 8) + P(X = 10) = 0.3 + 0.1 + 0.2 = 0.6 

Либо через функцию распределения:

 P(6 \le X \le 10) = F(10) - F(6-) = 0.8 - 0.2 = 0.6 

4. Закон распределения случайной величины Y = 100 - 2X

Для каждого значения (x_i) найдём соответствующее (y_i = 100 - 2x_i):

Таким образом, закон распределения (Y):

5. Найти (M[Y]), (D[Y]) двумя способами

Способ 1: через свойства линейных преобразований

Если Y = aX + b, то:

 M[Y] = a \cdot M[X] + b = (-2) \cdot 7.8 + 100 = -15.6 + 100 = 84.4 

 D[Y] = a^2 \cdot D[X] = (-2)^2 \cdot 8.36 = 4 \cdot 8.36 = 33.44 

Способ 2: по определению

 M[Y] = \sum y_i \cdot p_i = 76 \cdot 0.2 + 80 \cdot 0.2 + 84 \cdot 0.1 + 88 \cdot 0.3 + 92 \cdot 0.2 

 M[Y] = 15.2 + 16 + 8.4 + 26.4 + 18.4 = 84.4 

 E[Y^2] = 76^2 \cdot 0.2 + 80^2 \cdot 0.2 + 84^2 \cdot 0.1 + 88^2 \cdot 0.3 + 92^2 \cdot 0.2 

 E[Y^2] = 5776 \cdot 0.2 + 6400 \cdot 0.2 + 7056 \cdot 0.1 + 7744 \cdot 0.3 + 8464 \cdot 0.2 = \ = 1155.2 + 1280 + 705.6 + 2323.2 + 1692.8 = 7156.8 

 D[Y] = E[Y^2] - (M[Y])^2 = 7156.8 - (84.4)^2 = 7156.8 - 7123.36 = 33.44 

✅ Ответы:

1. M[X] = 7.8, D[X] = 8.36
2. Функция распределения (F(x)) — построена выше
3. P(6 \le X \le 10) = 0.6
4. Закон распределения (Y) — таблица выше
5. M[Y] = 84.4, D[Y] = 33.44 (оба способа совпадают)