Работа вам нужна срочно. Не волнуйтесь, уложимся!
Заполните, пожалуйста, данные для автора:
- 22423 авторов готовы помочь тебе.
- 2402 онлайн
Из партии, в которой 31 деталь без дефектов и 6 с дефектом, берут наудачу 3 детали. Чему равна вероятность следующих событий: а) все три детали без дефектов. б) две детали без дефектов. в) хотя бы одна деталь без дефектов.
Для начала, определим общее количество деталей в партии. У нас есть 31 деталь без дефектов и 6 с дефектом, то есть всего 31 + 6 = 37 деталей. Теперь будем оперировать с комбинациями, потому что нас интересует, сколько способов у нас есть для выбора трёх деталей из этих 37. Общее количество способов выбрать 3 детали из 37 можно рассчитать с помощью биномиального коэффициента:
\[ \binom{37}{3} = \frac{37!}{3!(37-3)!} \]Найти вероятность того, что все три детали без дефектов. Итак, мы берем 3 детали из 31 детали без дефектов:
\[ \binom{31}{3} = \frac{31!}{3!(31-3)!} \]Нам нужно поделить количество благоприятных исходов на общее количество исходов:
\[ \text{P(все три без дефектов)} = \frac{\binom{31}{3}}{\binom{37}{3}}. \]Посчитаем биномиальные коэффициенты:
\[ \binom{31}{3} = \frac{31 \times 30 \times 29}{3 \times 2 \times 1} = 4,495. \] \[ \binom{37}{3} = \frac{37 \times 36 \times 35}{3 \times 2 \times 1} = 7,770. \]Теперь подставим эти значения в формулу:
\[ \text{P(все три без дефектов)} = \frac{4,495}{7,770} \approx 0.578. \]Найти вероятность того, что две детали без дефектов. Мы берем 2 детали из 31 без дефектов и 1 деталь из 6 с дефектом. Количество способов выбрать 2 детали из 31:
\[ \binom{31}{2} = \frac{31 \times 30}{2 \times 1} = 465. \]Количество способов выбрать 1 деталь из 6:
\[ \binom{6}{1} = \frac{6}{1} = 6. \]Тогда количество благоприятных исходов:
\[ \binom{31}{2} \times \binom{6}{1} = 465 \times 6 = 2,790. \]Поделим количество благоприятных исходов на общее количество исходов:
\[ \text{P(две без дефектов)} = \frac{2,790}{7,770} \approx 0.359. \]Напоследок, вероятность того, что хотя бы одна деталь будет без дефектов. Это событие противоположно событию "все три детали с дефектом", поэтому легче всего найти вероятность "все три детали с дефектом" и вычесть её из 1. Количество способов выбрать 3 детали из 6 с дефектом:
\[ \binom{6}{3} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20. \]Тогда вероятность этого события:
\[ \text{P(все три с дефектом)} = \frac{20}{7,770} \approx 0.0026. \]Теперь вероятность "хотя бы одна без дефекта":
\[ \text{P(хотя бы одна без дефекта)} = 1 - \text{P(все три с дефектом)} = 1 - 0.0026 = 0.9974. \]