Определение предмета и раздела
Это задание относится к математической статистике, которая является частью дисциплины теории вероятностей и математической статистики. Тема задания — нормальное распределение и вычисление вероятностей для случайной величины.
Условие задачи
Случайная величина \(X\) распределена по нормальному закону. Параметры распределения:
- Среднее значение (\(a\)) \( = 15\),
- Вероятность \(P(5 < X < 10) = 0.4\).
Нужно найти вероятность \(P(20 < X < 25)\).
Даны варианты ответа:
- \(a. \text{ нет правильного ответа}\),
- \(b. 0.03\),
- \(c. 0.6\),
- \(d. 0.4\).
Решение
- Вспомним свойства нормального распределения
Нормальное распределение \(X \sim N(a, \sigma^2)\) задаётся двумя параметрами:
средним значением (\(a\)) и стандартным отклонением (\(\sigma\)).
Нам нужно найти вероятность \(P(20 < X < 25)\),
но в задаче не указано значение стандартного отклонения (\(\sigma\)).
Однако, оно подразумевается одинаковым для всех частей задачи, поскольку нормальное распределение полностью определяется параметрами
\(a\) и \(\sigma\).
- Рассмотрим симметрию нормального распределения
Нормальное распределение симметрично относительно среднего значения (\(\mu = a\)).
Здесь \(a = 15\).
Вероятности для интервалов, равноудалённых от среднего (\(a\)), одинаковы.
Например, вероятность для интервала \(P(5 < X < 10)\), который находится на 5 единиц
левее центра распределения, равна вероятности для интервала \(P(20 < X < 25)\),
который находится на 5 единиц правее центра.
- Понимание аналогии
Интервал \(5 < X < 10\) находится слева от среднего на расстоянии:
- Центр интервала: \(\frac{5 + 10}{2} = 7.5\),
- Смещение от \(a = 15\): \(-7.5\).
Интервал \(20 < X < 25\) находится справа от среднего на расстоянии:
- Центр интервала: \(\frac{20 + 25}{2} = 22.5\),
- Смещение от \(a = 15\): \(+7.5\).
Значит, вероятность, соответствующая этим интервалам, равна:
\[ P(20 < X < 25) = P(5 < X < 10) = 0.4. \]
- Ответ
Вероятность \(P(20 < X < 25)\) равна:
\[ \boxed{0.4}. \]
Разбор вариантов ответа
- a. «Нет правильного ответа» — неверно.
- b. \(0.03\) — неверно.
- c. \(0.6\) — неверно.
- d. \(0.4\) — верно.