Найти: а) вероятность того, что в черте города окажется хотя бы 3 сбербанка

Предмет: Теория вероятностей
Раздел: Сочетания, гипергеометрическое распределение

Условие задачи:

Имеется 20 сбербанков, из них 10 находятся в черте города, а 10 — за чертой города. Из них случайным образом отбирается 5 сбербанков.
Нужно найти:

а) вероятность того, что в черте города окажется хотя бы 3 сбербанка
б) вероятность того, что в черте города окажется хотя бы 1 сбербанк

Тип распределения

Поскольку выборка осуществляется без возвращения, и мы выбираем из конечной совокупности, то используем гипергеометрическое распределение.

Обозначим:

• Общее количество объектов: [N = 20]
• Количество "успешных" объектов (в черте города): [K = 10]
• Размер выборки: [n = 5]
• Количество "успешных" объектов в выборке: [k]

Формула гипергеометрического распределения:

 P(k) = \frac{{\binom{K}{k} \cdot \binom{N-K}{n-k}}}{{\binom{N}{n}}} 

Решение:

а) Вероятность того, что в черте города окажется хотя бы 3 сбербанка

То есть нужно найти:

 P(k \geq 3) = P(3) + P(4) + P(5) 

Рассчитаем каждую вероятность по формуле:

1. [P(3)]:

 P(3) = \frac{{\binom{10}{3} \cdot \binom{10}{2}}}{{\binom{20}{5}}} = \frac{{120 \cdot 45}}{{15504}} = \frac{5400}{15504} 

2. [P(4)]:

 P(4) = \frac{{\binom{10}{4} \cdot \binom{10}{1}}}{{\binom{20}{5}}} = \frac{{210 \cdot 10}}{{15504}} = \frac{2100}{15504} 

3. [P(5)]:

 P(5) = \frac{{\binom{10}{5} \cdot \binom{10}{0}}}{{\binom{20}{5}}} = \frac{{252 \cdot 1}}{{15504}} = \frac{252}{15504} 

Теперь сложим:

 P(k \geq 3) = \frac{5400 + 2100 + 252}{15504} = \frac{7752}{15504} \approx 0.5 

Ответ (а): Вероятность того, что в черте города окажется хотя бы 3 сбербанка — приблизительно 0.5

б) Вероятность того, что в черте города окажется хотя бы 1 сбербанк

То есть нужно найти:

 P(k \geq 1) = 1 - P(0) 

Вычислим [P(0)]:

 P(0) = \frac{{\binom{10}{0} \cdot \binom{10}{5}}}{{\binom{20}{5}}} = \frac{1 \cdot 252}{15504} = \frac{252}{15504} 

Теперь:

 P(k \geq 1) = 1 - \frac{252}{15504} = \frac{15252}{15504} \approx 0.9837 

Ответ (б): Вероятность того, что в черте города окажется хотя бы 1 сбербанк — приблизительно 0.984

Итог:

а) [P(k \geq 3)] \approx 0.5
б) [P(k \geq 1)] \approx 0.984