Найти: а) коэффициент ( C ); б) ( P(X < 2) ); в) закон распределения ( Y = X^2 - 4 )

Предмет: Теория вероятностей и математическая статистика
Раздел: Случайные величины и распределения, функции распределения

Задание 3:

Случайная величина ( X ) имеет функцию распределения
( F(x) = C(x^2 - 1) ), при ( x \in [1; 4] ).
Найти:
а) коэффициент ( C );
б) ( P(X < 2) );
в) закон распределения ( Y = X^2 - 4 )

Решение:

а) Найдём коэффициент ( C )

Функция распределения ( F(x) ) — это интеграл от функции плотности ( f(x) ). Нам дана функция распределения на отрезке ( [1; 4] ):

F(x) = C(x^2 - 1)

Поскольку ( F(x) ) — функция распределения, то на правом конце отрезка она должна равняться 1:

F(4) = C(4^2 - 1) = C(16 - 1) = 15C = 1

Отсюда:

C = \frac{1}{15}

б) Найдём вероятность ( P(X < 2) )

Для этого используем функцию распределения:

P(X < 2) = F(2) = C(2^2 - 1) = C(4 - 1) = 3C = \frac{3}{15} = \frac{1}{5}

в) Найдём закон распределения случайной величины

Y = X^2 - 4

Так как ( X \in [1; 4] ), найдём границы изменения ( Y ):

• При ( X = 1 \Rightarrow Y = 1^2 - 4 = -3 )
• При ( X = 4 \Rightarrow Y = 16 - 4 = 12 )

Следовательно, ( Y \in [-3; 12] )

Теперь найдём функцию распределения ( F_Y(y) = P(Y \le y) = P(X^2 - 4 \le y) = P(X \le \sqrt{y + 4}) )

Тогда:

F_Y(y) = F_X(\sqrt{y + 4}) = C((\sqrt{y + 4})^2 - 1) = C(y + 4 - 1) = C(y + 3)

Подставим значение ( C = \frac{1}{15} ):

F_Y(y) = \frac{1}{15}(y + 3), \quad y \in [-3; 12]

Ответ:

а) C = \frac{1}{15}
б) P(X < 2) = \frac{1}{5}
в) Закон распределения ( Y ):
F_Y(y) = \frac{1}{15}(y + 3), \quad y \in [-3; 12]