Найти: а) коэффициент C

Предмет: Теория вероятностей и математическая статистика
Раздел: Непрерывные случайные величины. Плотность распределения, математическое ожидание, функции случайных величин.

Условие задачи:

Случайная величина ( X ) имеет плотность:

f(x) = Cx^2, \quad x \in [0; 2]

Найти:

а) коэффициент C
б) P(|X - M[X]| < 1)
в) закон распределения Y = |X - 1|

Решение:

а) Найдём коэффициент C:

Так как f(x) — это плотность вероятности, то по определению:

\int_{0}^{2} f(x) dx = 1

Подставим:

\int_{0}^{2} Cx^2 dx = 1

Вычислим интеграл:

C \int_{0}^{2} x^2 dx = C \cdot \left[\frac{x^3}{3}\right]_0^2 = C \cdot \frac{8}{3}

Приравниваем к 1:

C \cdot \frac{8}{3} = 1 \Rightarrow C = \frac{3}{8}

✅ Ответ а): C = \frac{3}{8}

б) Найдём P(|X - M[X]| < 1)

Сначала найдём математическое ожидание M[X]:

M[X] = \int_{0}^{2} x f(x) dx = \int_{0}^{2} x \cdot \frac{3}{8} x^2 dx = \frac{3}{8} \int_{0}^{2} x^3 dx

= \frac{3}{8} \cdot \left[\frac{x^4}{4}\right]_0^2 = \frac{3}{8} \cdot \frac{16}{4} = \frac{3}{8} \cdot 4 = \frac{12}{8} = \frac{3}{2}

Теперь подставим в вероятность:

P(|X - \frac{3}{2}| < 1) = P(\frac{1}{2} < X < \frac{5}{2})

Но область определения X \in [0, 2], поэтому:

P(\frac{1}{2} < X < 2)

Теперь найдём эту вероятность:

P(\frac{1}{2} < X < 2) = \int_{1/2}^{2} f(x) dx = \int_{1/2}^{2} \frac{3}{8}x^2 dx

Вычислим:

\frac{3}{8} \left[\frac{x^3}{3}\right]_{1/2}^{2} = \frac{1}{8} \left[x^3\right]_{1/2}^{2} = \frac{1}{8}(8 - \frac{1}{8}) = \frac{1}{8} \cdot \left(\frac{64 - 1}{8}\right) = \frac{63}{64}

✅ Ответ б): P(|X - M[X]| < 1) = \frac{63}{64}

в) Найдём закон распределения Y = |X - 1|

Рассмотрим преобразование случайной величины:

Y = |X - 1|

Так как X \in [0, 2], то Y \in [0, 1] (максимальное отклонение от 1 — это 1, при X = 0 или X = 2)

Разделим на два случая:

• при 0 \leq x \leq 1: y = 1 - x \Rightarrow x = 1 - y
• при 1 < x \leq 2: y = x - 1 \Rightarrow x = y + 1

Найдём функцию распределения F_Y(y):

F_Y(y) = P(Y \leq y) = P(|X - 1| \leq y) = P(1 - y \leq X \leq 1 + y)

С учётом ограничений X \in [0, 2], область интегрирования:

\int_{\max(0, 1 - y)}^{\min(2, 1 + y)} f(x) dx

Так как y \in [0,1], то:

F_Y(y) = \int_{1 - y}^{1 + y} \frac{3}{8}x^2 dx

Теперь найдём плотность f_Y(y):

f_Y(y) = \frac{d}{dy} F_Y(y) = \frac{d}{dy} \left( \int_{1 - y}^{1 + y} \frac{3}{8}x^2 dx \right)

Применим формулу Лейбница:

 f_Y(y) = \frac{3}{8} \left[ (1 + y)^2 \cdot \frac{d}{dy}(1 + y) - (1 - y)^2 \cdot \frac{d}{dy}(1 - y) \right] = \frac{3}{8} \left[ (1 + y)^2 + (1 - y)^2 \right] 

Вычислим:

(1 + y)^2 = 1 + 2y + y^2
(1 - y)^2 = 1 - 2y + y^2
Сумма: 2 + 2y^2

Итак:

f_Y(y) = \frac{3}{8}(2 + 2y^2) = \frac{3}{4}(1 + y^2), при y \in [0, 1]

✅ Ответ в):
Плотность случайной величины Y = |X - 1|:

f_Y(y) = \frac{3}{4}(1 + y^2), \quad y \in [0, 1]

Если нужно, могу построить графики плотностей.