Найдите закон распределения дискретной величины X

Предмет: Теория вероятностей

Раздел: Дискретные случайные величины

Условие задачи:
Два игральных кубика выбрасывают два раза одновременно. Нужно найти закон распределения дискретной случайной величины ( X ), которая равна количеству четных чисел очков, выпавших на двух кубиках за один бросок.

Анализ задачи:

1. Четные числа на кубике:
   На каждом кубике четными числами являются ( 2, 4, 6 ). Всего три из шести возможных значений.

   Вероятность выпадения четного числа на одном кубике:
   [ P(\text{четное число}) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} ]

   Вероятность выпадения нечетного числа:
   [ P(\text{нечетное число}) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} ]

2. Случайная величина ( X ):
   ( X ) — количество четных чисел очков, выпавших на двух кубиках за один бросок. Возможные значения:
   [ X \in {0, 1, 2} ]

Найдем закон распределения ( X ):

1. ( X = 0 ):

Оба числа на кубиках нечетные.
Вероятность:
[ P(X = 0) = P(\text{нечетное на первом кубике}) \cdot P(\text{нечетное на втором кубике}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4} ]

2. ( X = 1 ):

Одно число четное, другое нечетное. Возможны два случая:

• Первый кубик четный, второй нечетный.
• Первый кубик нечетный, второй четный.

Вероятность:
[ P(X = 1) = P(\text{четное на первом и нечетное на втором}) + P(\text{нечетное на первом и четное на втором}) ] [ P(X = 1) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} ]

3. ( X = 2 ):

Оба числа на кубиках четные.
Вероятность:
[ P(X = 2) = P(\text{четное на первом кубике}) \cdot P(\text{четное на втором кубике}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4} ]

Закон распределения ( X ):

[ P(X = 0) = \frac{1}{4}, \quad P(X = 1) = \frac{1}{2}, \quad P(X = 2) = \frac{1}{4} ]

Проверка нормировки:

Сумма всех вероятностей должна равняться 1:
[ P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) = \frac{1}{4} + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} = 1 ]

Ответ:

Закон распределения случайной величины ( X ):
[ P(X = 0) = \frac{1}{4}, \quad P(X = 1) = \frac{1}{2}, \quad P(X = 2) = \frac{1}{4} ]