Найдите вероятность, что герб выпадет 3 раза

Предмет: Теория вероятностей
Раздел предмета: Дискретное распределение вероятностей (биномиальное распределение)

Данная задача относится к применению биномиального распределения, так как мы имеем дело с серией независимых испытаний (бросков монеты), где исход каждого испытания может быть либо успехом (выпадение герба), либо неудачей (выпадение решки).

Формула биномиального распределения выглядит следующим образом:

P(X = k) = C_n^k \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k},

где:

• n — общее число испытаний (в данном случае 10 бросков),
• k — число успехов, вероятность которых нужно найти (в данном случае 3 выпадения герба),
• p — вероятность успеха в одном испытании (в данном случае p = 0.5, так как монета симметричная),
• C_n^k — число сочетаний из n по k, которое вычисляется как C_n^k = \frac{n!}{k! \cdot (n-k)!}.

Теперь подставим значения, чтобы найти вероятность:

1. Число испытаний: n = 10,
2. Число успехов: k = 3,
3. Вероятность успеха: p = 0.5.

Сначала найдем число сочетаний C_n^k:

C_{10}^3 = \frac{10!}{3! \cdot (10-3)!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 120.

Теперь подставим в формулу биномиального распределения:

P(X = 3) = C_{10}^3 \cdot (0.5)^3 \cdot (1-0.5)^{10-3},

P(X = 3) = 120 \cdot (0.5)^3 \cdot (0.5)^7,

P(X = 3) = 120 \cdot (0.5)^{10},

P(X = 3) = 120 \cdot \frac{1}{1024} = \frac{120}{1024} = \frac{15}{128} \approx 0.1172.

Ответ: Вероятность того, что герб выпадет ровно 3 раза при 10 бросках монеты, равна \frac{15}{128} \approx 0.1172 или примерно 11.72%.