Найдите ковариацию случайных величин

Предмет: Теория вероятностей и математическая статистика

Раздел: Корреляция и ковариация

Задача 22 связана с броском монеты.

a) Найдите ковариацию случайных величин «число орлов, выпавших в первый раз» и «общее число выпавших орлов».

Обозначим случайные величины:

• X — число орлов, выпавших в первый раз (это может быть 0 или 1).
• Y — общее число выпавших орлов за 4 броска.

Сначала найдем матожидания:

1. Матожидание(X) = P(X = 1) = 0.5, так как вероятность орла в одном броске монеты равна 0.5.
2. Y — биномиальная случайная величина с n = 4 и p = 0.5. Матожидание(Y) = n * p = 4 * 0.5 = 2.

Найдем ковариацию Cov(X, Y):

Cov(X, Y) = E(XY) - E(X)E(Y)

Так как X может быть 1 только если в первом броске выпал орел, то E(XY) равно вероятности того, что орел выпал в первом броске, умноженной на ожидаемое количество раз, когда орел выпадает в остальных трех бросках плюс 1 (за первый орел). Это:

E(XY) = 0.5 * (1 + 1.5) = 0.5 * 2.5 = 1.25

Cov(X, Y) = 1.25 - 0.5 * 2 = 1.25 - 1 = 0.25

b) Найдите коэффициент корреляции этих величин.

Коэффициент корреляции равен:

ρ(X, Y) = Cov(X, Y) / (σ(X) * σ(Y))

Где:

• σ(X) — стандартное отклонение X. Для X, это стандартное отклонение биномиального распределения Bernoulli с p = 0.5, то есть σ(X) = √(0.5 * 0.5) = 0.5.
• σ(Y) — стандартное отклонение Y. Для Y, это стандартное отклонение биномиального распределения с n = 4 и p = 0.5, то есть σ(Y) = √(4 * 0.5 * 0.5) = √1 = 1.

Тогда:

ρ(X, Y) = 0.25 / (0.5 * 1) = 0.25 / 0.5 = 0.5