Написать биноминальный закон распределения дискретной случайной величины б) построить многоугольник распределения

Данное задание относится к предмету "Теория вероятностей и математическая статистика", раздел "Дискретные распределения вероятностей"

Пункт а) Написание биномиального закона распределения дискретной случайной величины

1. Определим дискретную случайную величину \(X\):

Пусть \(X\) — число выпадений четного числа очков на двух игральных костях за два броска.

2. Найдем вероятность одного успешного исхода — выпадения четного числа очков на двух игральных костях за один бросок:

На двух игральных костях возможны следующие четные суммы очков: \(2, 4, 6, 8, 10, 12\). Для каждой суммы найдем количество сочетаний выпадений:

• 2 можно получить только как (1,1)
• 4 можно получить как (1,3), (2,2), (3,1)
• 6 можно получить как (1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1)
• 8 можно получить как (2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2)
• 10 можно получить как (4,6), (5,5), (6,4)
• 12 можно получить как (6,6)

Итак, количество успешных исходов = 1 + 3 + 5 + 5 + 3 + 1 = 18. Всего исходов = 6*6 = 36, поэтому вероятность успешного исхода \(p\) (выпадение четного числа очков на двух костях) равна: \[ p = \frac{18}{36} = 0.5 \]

3. Так как мы бросаем кости два раза, число испытаний \(n = 2\). И вероятность успеха \(p = 0.5\). Биномиальное распределение для числа успехов \(X\) записывает вероятность \(P_k\) как:

\[ P_k = \binom{n}{k} \cdot p^k (1-p)^{n-k} \] где \(\binom{n}{k}\) означает биномиальный коэффициент, равный \(\frac{n!}{k!(n-k)!}\).

4. Используя это распределение, найдем вероятности для всех возможных значений \(X\) (0, 1 и 2):

\[ P(X=0) = \binom{2}{0} \cdot (0.5)^0 \cdot (0.5)^2 = 1 \cdot 1 \cdot 0.25 = 0.25 \]

\[ P(X=1) = \binom{2}{1} \cdot (0.5)^1 \cdot (0.5)^1 = 2 \cdot 0.5 \cdot 0.5 = 0.5 \]

\[ P(X=2) = \binom{2}{2} \cdot (0.5)^2 \cdot (0.5)^0 = 1 \cdot 0.25 \cdot 1 = 0.25 \]

Таким образом, получаем закон распределения: \[ P(X=0) = 0.25, \quad P(X=1) = 0.5, \quad P(X=2) = 0.25 \]

Пункт б) Построение многоугольника распределения

1. Построим многоугольник распределения:

Многоугольник распределения строится по значениям \(X\) и их вероятностям. Для этого на координатной плоскости отложим ось \(X\) (число выпадений четного числа очков) и ось \(Y\) (вероятности).

• По оси \(X\) откладываем 0, 1, 2.
• По оси \(Y\) вероятности 0.25, 0.5, 0.25.

2. Координаты точек для многоугольника:

- Для \(X=0\): \( (0, 0.25) \)
- Для \(X=1\): \( (1, 0.5) \)
- Для \(X=2\): \( (2, 0.25) \)

3. Соединяем точки:

- Отметим точки: (0, 0.25), (1, 0.5), (2, 0.25)
- Соединим их прямыми линиями. Таким образом, получается ломаная кривая, которая представляет собой многоугольник распределения дискретной случайной величины \(X\).

Теперь у вас есть полный анализ задачи и ее решение, включая вычисление биномиального распределения и построение многоугольника вероятностей.