Работа вам нужна срочно. Не волнуйтесь, уложимся!
Заполните, пожалуйста, данные для автора:
- 22423 авторов готовы помочь тебе.
- 2402 онлайн
Предмет: Теория вероятностей и математическая статистика
Раздел: Плотность распределения вероятностей, мода и медиана случайной величины
Мода — значение \(x\), в котором плотность вероятности \(f(x)\) достигает максимума.
Условие: \(f'(x) = 0\), так как в точке максимума производная равна нулю.
Плотность вероятности задана функцией \(f(x) = \frac{2}{9}(3x - x^2)\).
Найдём её производную:
\[ f'(x) = \frac{2}{9}(3 - 2x). \]
Решим уравнение \(f'(x) = 0\):
\[ \frac{2}{9}(3 - 2x) = 0. \]
\[ 3 - 2x = 0 \implies x = 1.5. \]
Проверим, действительно ли это максимум, исследуя знак второй производной \(f''(x)\):
\[ f''(x) = \frac{2}{9}(-2) = -\frac{4}{9}. \]
Вторая производная отрицательна (\(f''(x) < 0\)), значит, \(x = 1.5\) — точка максимума.
Следовательно, мода:
\[ \text{mod}(X) = 1.5. \]
Медиана \(m\) — значение, при котором вероятность того, что случайная величина \(X\) меньше либо равна \(m\), равна 0.5:
\[ P(X \leq m) = 0.5, \,\, \text{то есть:} \,\, \int_0^m f(x) \, dx = 0.5. \]
Подставим функцию плотности \(f(x)\):
\[ \int_0^m \frac{2}{9}(3x - x^2) \, dx = 0.5. \]
Разделим интеграл:
\[ \int_0^m \frac{2}{9}(3x - x^2) \, dx = \frac{2}{9} \left( \int_0^m 3x \, dx - \int_0^m x^2 \, dx \right). \]
Рассчитаем первый интеграл:
\[ \int_0^m 3x \, dx = \left[ \frac{3x^2}{2} \right]_0^m = \frac{3m^2}{2}. \]
Рассчитаем второй интеграл:
\[ \int_0^m x^2 \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^m = \frac{m^3}{3}. \]
Подставим всё обратно:
\[ \int_0^m \frac{2}{9}(3x - x^2) \, dx = \frac{2}{9} \left( \frac{3m^2}{2} - \frac{m^3}{3} \right). \]
Упростим выражение:
\[ \frac{3m^2}{2} - \frac{m^3}{3} = \frac{9m^2}{6} - \frac{2m^3}{6} = \frac{m^2 (9 - 2m)}{6}. \]
Подставляем:
\[ \frac{2}{9} \cdot \frac{m^2 (9 - 2m)}{6} = 0.5. \]
Упростим:
\[ \frac{2 \cdot m^2 (9 - 2m)}{54} = 0.5 \implies \frac{m^2 (9 - 2m)}{27} = 0.5. \]
Умножим обе стороны на 27:
\[ m^2 (9 - 2m) = 13.5. \]
Раскроем скобки:
\[ 9m^2 - 2m^3 = 13.5 \implies 2m^3 - 9m^2 + 13.5 = 0. \]
Решаем это кубическое уравнение численным методом (например, при помощи калькулятора или программирования). Анализ показывает, что \(m \approx 1.23\).