Математическое ожидание равномерно распределенной на отрезке [a, b] случайной величины вычисляется по формуле

Предмет: Теория вероятностей

Раздел: Случайные величины; математическое ожидание.

Для ответа на этот вопрос важно вспомнить, как вычисляется математическое ожидание случайной величины, равномерно распределенной на отрезке [a, b].

Математическое ожидание M(X) для такой случайной величины задается формулой:

M(X) = \frac{a + b}{2}.

Почему такая формула?

Случайная величина X, равномерно распределенная на [a, b], имеет плотность распределения:

f(x) = \begin{cases} \frac{1}{b-a}, & x \in [a, b], \\ 0, & \text{иначе}. \end{cases}

По определению математического ожидания:

M(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x \cdot f(x) \, dx.

Плотность f(x) равна нулю вне отрезка [a, b], поэтому пределы интегрирования можно сократить до [a, b]:

M(X) = \int_{a}^{b} x \cdot \frac{1}{b-a} \, dx.

Решим интеграл:

M(X) = \frac{1}{b-a} \int_{a}^{b} x \, dx.

Вспомним формулу для интеграла от x:

\int x \, dx = \frac{x^2}{2}.

Подставим и вычислим:

M(X) = \frac{1}{b-a} \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{a}^{b}.

Посчитаем значение первообразной на границах a и b:

M(X) = \frac{1}{b-a} \left( \frac{b^2}{2} - \frac{a^2}{2} \right).

Приведем дроби к общему знаменателю:

M(X) = \frac{1}{b-a} \cdot \frac{b^2 - a^2}{2}.

Заметим, что b^2 - a^2 можно разложить по формуле разности квадратов:

b^2 - a^2 = (b - a)(b + a).

Подставим:

M(X) = \frac{1}{b-a} \cdot \frac{(b-a)(b+a)}{2}.

Сократим b-a в числителе и знаменателе:

M(X) = \frac{b+a}{2}.

Таким образом, математическое ожидание равномерно распределенной случайной величины на отрезке [a, b] равно:

M(X) = \frac{a + b}{2}.

Ответ:

M(X) = \frac{a + b}{2}.

Выберите вариант: M(X) = (a + b)/2.