Какова вероятность того, что второй пробой произошел, если в мишени две пробоины?

Предмет: Теория вероятностей
Раздел: Формула полной вероятности, независимые события

Задание 8.4:

Три стрелка производят по одному выстрелу в одну и ту же мишень. Вероятности попадания соответственно равны 0,9; 0,8; 0,75. Какова вероятность того, что второй пробой произошел, если в мишени две пробоины?

Решение:

Обозначим стрелков как A, B и C.
Вероятности попадания:

• Стрелок A: [P_A = 0{,}9]
• Стрелок B: [P_B = 0{,}8]
• Стрелок C: [P_C = 0{,}75]

Соответственно, вероятности промаха:

• [\bar{P}_A = 1 - P_A = 0{,}1]
• [\bar{P}_B = 1 - P_B = 0{,}2]
• [\bar{P}_C = 1 - P_C = 0{,}25]

Нас интересует условная вероятность того, что второй пробой сделан вторым стрелком (B), при условии, что всего в мишени две пробоины.

Обозначим события:

• [B] — второй стрелок попал
• [D] — в мишени 2 пробоины

Найти: [P(B|D)]

По формуле Байеса:

 P(B|D) = \frac{P(D|B) \cdot P(B)}{P(D)} 

Шаг 1: Найдём [P(D)] — вероятность того, что в мишени 2 пробоины

Для этого рассмотрим все возможные комбинации двух попаданий из трёх стрелков:

1. Попали A и B, промахнулся C: [P_1 = P_A \cdot P_B \cdot \bar{P}_C = 0{,}9 \cdot 0{,}8 \cdot 0{,}25 = 0{,}18]

2. Попали A и C, промахнулся B: [P_2 = P_A \cdot \bar{P}_B \cdot P_C = 0{,}9 \cdot 0{,}2 \cdot 0{,}75 = 0{,}135]

3. Попали B и C, промахнулся A: [P_3 = \bar{P}_A \cdot P_B \cdot P_C = 0{,}1 \cdot 0{,}8 \cdot 0{,}75 = 0{,}06]

Суммарная вероятность двух пробоин:

 P(D) = P_1 + P_2 + P_3 = 0{,}18 + 0{,}135 + 0{,}06 = 0{,}375 

Шаг 2: Найдём [P(D \cap B)] — вероятность того, что есть 2 пробоины и одна из них от стрелка B

Это сумма случаев, когда B попал и в мишени 2 пробоины:

• Случай 1: попали A и B (включает B)
• Случай 3: попали B и C (включает B)

 P(D \cap B) = P_1 + P_3 = 0{,}18 + 0{,}06 = 0{,}24 

Шаг 3: Применим формулу Байеса

 P(B|D) = \frac{P(D \cap B)}{P(D)} = \frac{0{,}24}{0{,}375} = \frac{64}{100} = 0{,}64 

Ответ:
[P(B|D) = 0{,}64]
Вероятность того, что второй стрелок попал, если в мишени две пробоины, равна 0,64.