Какова вероятность того, что: хотя бы один из них невыигрышный; не менее трёх выигрышных; все выигрышные?

Предмет: Теория вероятностей
Раздел: Классическое определение вероятности, комбинаторика

Дано:
Всего билетов — 10
Выигрышных — 4
Покупается — 4 билета

Обозначим:

• ( W = 4 ) — количество выигрышных билетов
• ( N = 10 ) — общее количество билетов
• ( k = 4 ) — количество приобретаемых билетов

Рассмотрим выборку из 4 билетов без возвращения (т.е. без повторов), все возможные исходы равновероятны.

Общее число способов выбрать 4 билета из 10:  C_{10}^{4} = \frac{10!}{4!(10-4)!} = 210 

1. Вероятность того, что хотя бы один из них невыигрышный

Это означает, что не все 4 билета выигрышные. То есть, надо найти:  P(\text{хотя бы один невыигрышный}) = 1 - P(\text{все выигрышные}) 

Найдем вероятность того, что все 4 билета — выигрышные:

Число способов выбрать 4 выигрышных билета из 4:  C_{4}^{4} = 1 

Тогда:  P(\text{все выигрышные}) = \frac{1}{210} 

Следовательно:  P(\text{хотя бы один невыигрышный}) = 1 - \frac{1}{210} = \frac{209}{210} 

2. Вероятность того, что не менее трёх выигрышных

Это означает, что количество выигрышных билетов среди выбранных — 3 или 4.

Рассчитаем по формуле:  P(\geq 3 \text{ выигрышных}) = P(3 \text{ выигрышных}) + P(4 \text{ выигрышных}) 

Случай 3 выигрышных и 1 невыигрышный:

• Выбираем 3 выигрышных из 4:  C_4^3 = 4 
• Выбираем 1 невыигрышный из 6 (10 - 4):  C_6^1 = 6 
• Всего таких сочетаний:  4 \times 6 = 24 

Случай 4 выигрышных:

 C_4^4 = 1 

Итак:  P(\geq 3 \text{ выигрышных}) = \frac{24 + 1}{210} = \frac{25}{210} = \frac{5}{42} 

3. Вероятность того, что все выигрышные

Мы уже считали это выше:  P(\text{все выигрышные}) = \frac{1}{210} 

Ответ:

1. Вероятность того, что хотя бы один билет невыигрышный:
    \frac{209}{210} 

2. Вероятность того, что не менее трёх выигрышных:
    \frac{5}{42} 

3. Вероятность того, что все выигрышные:
    \frac{1}{210}