Какова вероятность того, что 2 наудачу выбранных билета окажутся выигрышными?

Предмет: Теория вероятностей
Раздел: Комбинаторика и вычисление вероятностей

Для решения задачи воспользуемся классическим определением вероятности, которое заключается в следующем: вероятность события равна отношению числа благоприятных исходов к числу всех возможных исходов.

Дано:

• Общее количество билетов: [100] $[N=100]$;
• Количество выигрышных билетов: [10] $[k=10]$;
• Мы выбираем [2] билета наудачу.

Нужно найти вероятность того, что оба выбранных билета окажутся выигрышными.

Шаг 1. Общее количество способов выбрать 2 билета из 100

Общее количество способов выбрать [2] билета из [100] рассчитывается с помощью биномиального коэффициента:

$C(n,k)=\frac{n!}{k!(n-k)!},$

где [n] — общее количество элементов, а [k] — количество элементов, которые выбираются.

В нашем случае: $C(100,2)=\frac{100!}{2!(100-2)!}=\frac{100\cdot 99}{2}=4950.$

Таким образом, общее количество способов выбрать [2] билета из [100] равно [4950].

Шаг 2. Количество благоприятных исходов

Благоприятные исходы — это ситуации, когда оба выбранных билета оказываются выигрышными. Количество способов выбрать [2] выигрышных билета из [10] также рассчитывается с помощью биномиального коэффициента:

$C(10,2)=\frac{10!}{2!(10-2)!}=\frac{10\cdot 9}{2}=45.$

Таким образом, количество благоприятных исходов равно [45].

Шаг 3. Вероятность события

Теперь вероятность того, что оба выбранных билета окажутся выигрышными, равна отношению количества благоприятных исходов к общему количеству исходов:

$P=\frac{C(10,2)}{C(100,2)}=\frac{45}{4950}.$

Упростим дробь: $P=\frac{45}{4950}=\frac{1}{110}.$

Ответ:

Вероятность того, что оба выбранных билета окажутся выигрышными, равна:

$P=\frac{1}{110}\approx 0.00909(или0.909\mathrm{\%}).$