Какова вероятность извлечь из наугад выбранного ящика исправную лампу?

Предмет: Теория вероятностей
Раздел: Классическое определение вероятности. Формула полной вероятности

Условие задачи:

• В первом ящике: 14 ламп, из них 3 неисправны, значит 11 исправных.
• Во втором ящике: 10 ламп, из них 1 неисправна, значит 9 исправных.
• Выбираем наугад один из двух ящиков, затем наугад одну лампу из выбранного ящика.
• Требуется найти вероятность того, что выбранная лампа окажется исправной.

Решение:

Пусть:

• P(A_1) = \frac{1}{2} — вероятность выбрать первый ящик.
• P(A_2) = \frac{1}{2} — вероятность выбрать второй ящик.
• P(B|A_1) — вероятность выбрать исправную лампу из первого ящика.
• P(B|A_2) — вероятность выбрать исправную лампу из второго ящика.

Тогда по формуле полной вероятности:

 P(B) = P(A_1) \cdot P(B|A_1) + P(A_2) \cdot P(B|A_2) 

Подставим значения:

• P(B|A_1) = \frac{11}{14}
• P(B|A_2) = \frac{9}{10}

Тогда:

 P(B) = \frac{1}{2} \cdot \frac{11}{14} + \frac{1}{2} \cdot \frac{9}{10} = \frac{11}{28} + \frac{9}{20} 

Приведем к общему знаменателю:

НОК(28, 20) = 140

• \frac{11}{28} = \frac{55}{140}
• \frac{9}{20} = \frac{63}{140}

Складываем:

 P(B) = \frac{55 + 63}{140} = \frac{118}{140} = \frac{59}{70} 

Ответ:

\boxed{\frac{59}{70}} — вероятность того, что выбранная лампа окажется исправной.