Из 100 билетов лотереи 10 выигрышных. Купили 5 билетов. Найти вероятность того, что 3 из них выигрышные

Условие:

Из 100 билетов лотереи 10 выигрышных. Купили 5 билетов. Найти вероятность того, что 3 из них выигрышные

Решение:

Предмет, с которым мы имеем дело, - это теория вероятностей, раздел математики. В частности, перед нами задача на нахождение вероятности события в условиях классической определенной вероятности. Для решения такой задачи воспользуемся формулой гипергеометрического распределения. Формула гипергеометрической вероятности показывает вероятность того, что, выбрав \( n \) элементов из конечного множества размером \( N \), содержащего \( K \) успешных элементов, мы получим \( k \) успешных элементов: \[ P(X = k) = \frac{\binom{K}{k} \binom{N-K}{n-k}}{\binom{N}{n}} \] где - \( P(X = k) \) - вероятность того, что выбранные \( n \) элементов содержат ровно \( k \) успешных элементов, - \( \binom{K}{k} \) - количество способов выбрать \( k \) успешных элементов из \( K \) всего доступных, - \( \binom{N-K}{n-k} \) - количество способов выбрать оставшиеся \( n-k \) неуспешных элементов из оставшихся \( N-K \) доступных, - \( \binom{N}{n} \) - общее количество способов выбрать \( n \) элементов из \( N \) доступных. Подставим в формулу наши значения: - \( N = 100 \) (общее количество билетов), - \( K = 10 \) (количество выигрышных билетов), - \( n = 5 \) (количество купленных билетов), - \( k = 3 \) (количество требуемых выигрышных билетов). \[ P(X = 3) = \frac{\binom{10}{3} \binom{90}{2}}{\binom{100}{5}} \] Воспользуемся определением биномиального коэффициента: \[ \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} \] Теперь подставим значения и упростим: \[ P(X = 3) = \frac{\frac{10!}{3!7!} \cdot \frac{90!}{2!88!}}{\frac{100!}{5!95!}} \] \[ P(X = 3) = \frac{(10 \cdot 9 \cdot 8) / (3 \cdot 2 \cdot 1) \cdot (90 \cdot 89) / (2 \cdot 1)}{(100 \cdot 99 \cdot 98 \cdot 97 \cdot 96)/(5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1)} \] \[ P(X = 3) = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 90 \cdot 89}{3 \cdot 2 \cdot 100 \cdot 99 \cdot 98 \cdot 97 \cdot 96} \cdot \frac{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{2 \cdot 1} \] Отменяем общие множители и упрощаем выражение: \[ P(X = 3) = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 89}{100 \cdot 99 \cdot 98 \cdot 97 \cdot 96} \cdot 5 \cdot 4 \] \[ P(X = 3) = \frac{9 \cdot 8 \cdot 89}{11 \cdot 99 \cdot 97 \cdot 96} \cdot 5 \cdot 2 \] \[ P(X = 3) = \frac{2 \cdot 8 \cdot 89}{11 \cdot 97 \cdot 96} \cdot 5 \cdot 2 \] \[ P(X = 3) = \frac{89}{11 \cdot 97 \cdot 12} \cdot 10 \] \[ P(X = 3) = \frac{89}{97 \cdot 12} \cdot 10 \] \[ P(X = 3) = \frac{89}{1164} \] Для получения окончательной дроби требуется выполнить деление: \[ P(X = 3) = \frac{89}{1164} \approx 0.07646 \] Итак, вероятность того, что из пяти купленных билетов ровно три окажутся выигрышными, приблизительно равна 0.07646, или 7.646%.