Формулы Бернулли и Лапласа

Предмет: Теория вероятностей

Раздел: Формулы Бернулли и Лапласа

Рассмотрим задачу для варианта 4а:
Дано:

• Общее число деталей: n = 300
• Число годных деталей: m = 295
• Вероятность брака: p = 0.01

Решение пункта (а) по формуле Бернулли

Найти вероятность того, что проверку успешно пройдут ровно m деталей.
Это означает, что из n деталей ровно m окажутся годными.

Формула Бернулли:
 P_k = C_n^k p^k (1 - p)^{n - k} 
где

• C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!} — биномиальный коэффициент,
• p — вероятность брака,
• 1 - p — вероятность годной детали,
• k = m — количество годных деталей.

Подставляем значения:
 P_{295} = C_{300}^{295} (0.99)^{295} (0.01)^5 

При больших n вычисление биномиального коэффициента затруднительно, поэтому можно воспользоваться приближением Пуассона или нормальным распределением.

Решение пункта (с) по формуле Лапласа

Найти вероятность того, что будет менее двух бракованных деталей, то есть X = 0 или X = 1.

Считаем математическое ожидание и дисперсию:

• Математическое ожидание:
  M(X) = n p = 300 \cdot 0.01 = 3
• Дисперсия:
  D(X) = n p (1 - p) = 300 \cdot 0.01 \cdot 0.99 = 2.97
• Среднеквадратичное отклонение:
  \sigma = \sqrt{D(X)} = \sqrt{2.97} \approx 1.72

Используем нормальное приближение:
 P(X < 2) = P(0) + P(1) 

Применяем формулу Лапласа:
 P(X < 2) \approx \Phi \left( \frac{2.5 - 3}{1.72} \right) 
Используем таблицу функции Лапласа для уточнения результата.

Таким образом, задача решается с использованием формулы Бернулли для (а) и приближения Лапласа для (с).