Два равных противника играют матч из n партий в теннис. Каждая партия заканчивается выигрышем, либо проигрышем одного из участников. Всеисходы данного матча равновероятны. Найти вероятность того, что первый игрок выиграет равно m партий (m≤n )

Этот вопрос из предмета теории вероятностей, раздел комбинаторика и биномиальное распределение. Рассмотрим подробно решение данного задания.

Пошаговое решение:

1. Определение событий и конфигураций игры:
   • Есть две равных по силе противника, играющих \( n \) партий.
   • Каждая партия имеет два возможных исхода: победа или проигрыш первого игрока.
   • Найти вероятность выигрыша ровно \( m \) партий из \( n \).
2. Уточнение условий задачи:
   • Так как исходы каждой партии равновероятны, вероятности выигрыша и проигрыша равны и составляют по 0.5.
3. Использование биномиального распределения:
   • Вероятность того, что первый игрок выиграет ровно \( m \) партий из \( n \) рассчитывается по формуле биномиального распределения: \[ P(X = m) = \binom{n}{m} \cdot p^m \cdot (1-p)^{n-m} \]
   • где:
     • \(\binom{n}{m}\) – биномиальный коэффициент, равный числу способов выбрать \( m \) выигрышных партий из \( n \): \[ \binom{n}{m} = \frac{n!}{m! \cdot (n - m)!} \]
     • \( p \) – вероятность выигрыша в одной партии (в данном случае \( p = 0.5 \)).
     • \( (1 - p) \) – вероятность проигрыша в одной партии (также \( 0.5 \)).
4. Формулирование окончательной формулы:
   • Подставим значения \( p \) и \( 1-p \) в общую формулу: \[ P(X = m) = \binom{n}{m} \cdot (0.5)^m \cdot (0.5)^{n-m} = \binom{n}{m} \cdot (0.5)^n \]
5. Анализ формулы:
   • Чтобы использовать эту формулу, нам нужно значение \( n \) и \( m \).
   • Например, если дано \( n = 5 \) и \( m = 3 \), то: \[ P(X = 3) = \binom{5}{3} \cdot (0.5)^5 \] где \( \binom{5}{3} = \frac{5!}{3! \cdot 2!} = 10 \).
6. Пример расчета:
   • Подставим в формулу: \[ P(X = 3) = 10 \cdot (0.5)^5 = 10 \cdot \frac{1}{32} = 0.3125 \]
   • Таким образом, вероятность того, что первый игрок выиграет ровно 3 партии из 5 равна 31.25%.

Вывод:

Формула для вероятности \( m \) выигранных партий из \( n \) написана как: \[ P(X = m) = \binom{n}{m} \cdot (0.5)^n \] Это и будет окончательным ответом для данной задачи.