Два равносильных противника играют в шахматы. Что вероятнее выиграть:
а) одну партию из двух или две из четырех; б)не менее двух партий из четырех или не менее трех партий из пяти.
Конечно, давай разберём эти задачи. Это задача из предмета теория вероятностей, раздела дискретных вероятностей.
Задача (а):
Вопрос: Что вероятнее выиграть: одну партию из двух или две из четырех?
Решение:
- Вероятность выигрыша одной партии из двух: Предположим, что вероятность выигрыша каждой партии \( p = 0.5 \) (т.к. противники равносильные), а вероятность проигрыша \( q = 1 - p = 0.5 \). Мы ищем вероятность выигрыша ровно одной партии из двух: \[
P(X = 1) = \binom{2}{1} p^1 q^{2-1} = \binom{2}{1} (0.5)^1 (0.5)^1 = 2 \cdot 0.5 \cdot 0.5 = 0.5
\]
- Вероятность выигрыша двух партий из четырёх: Теперь, мы ищем вероятность того, что из четырёх партий будут выиграны ровно две: \[
P(Y = 2) = \binom{4}{2} p^2 q^{4-2} = \binom{4}{2} (0.5)^2 (0.5)^2 = 6 \cdot (0.25) \cdot (0.25) = 6 \cdot 0.0625 = 0.375
\]
Сравнение: Очевидно, что \( 0.5 > 0.375 \), т.е. вероятнее выиграть одну партию из двух, чем две из четырёх.
Задача (б):
Вопрос: Что вероятнее выиграть: не менее двух партий из четырех или не менее трех партий из пяти?
Решение:
- Вероятность выигрыша не менее двух партий из четырех: Мы ищем вероятность того, что выиграно две, три или четыре партии из четырёх. Используем формулу биномиального распределения \( P(k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k} \) и складываем вероятности: \[
P(X \geq 2) = P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4) \]
\[
P(X = 2) = \binom{4}{2} (0.5)^2 (0.5)^2 = 6 \cdot 0.25 \cdot 0.25 = 0.375 \] \[
P(X = 3) = \binom{4}{3} (0.5)^3 (0.5)^1 = 4 \cdot 0.125 \cdot 0.5 = 0.25 \] \[
P(X = 4) = \binom{4}{4} (0.5)^4 (0.5)^0 = 1 \cdot 0.0625 \cdot 1 = 0.0625 \] \[
P(X \geq 2) = 0.375 + 0.25 + 0.0625 = 0.6875 \]
- Вероятность выигрыша не менее трех партий из пяти: Мы ищем вероятность того, что выиграно три, четыре или пять партий из пяти. Аналогично используем формулу биномиального распределения и складываем вероятности: \[
P(Y \geq 3) = P(Y = 3) + P(Y = 4) + P(Y = 5) \] \[
P(Y = 3) = \binom{5}{3} (0.5)^3 (0.5)^2 = 10 \cdot 0.125 \cdot 0.25 = 0.3125 \] \[
P(Y = 4) = \binom{5}{4} (0.5)^4 (0.5)^1 = 5 \cdot 0.0625 \cdot 0.5 = 0.15625 \] \[
P(Y = 5) = \binom{5}{5} (0.5)^5 (0.5)^0 = 1 \cdot 0.03125 \cdot 1 = 0.03125 \] \[
P(Y \geq 3) = 0.3125 + 0.15625 + 0.03125 = 0.5 \]
Сравнение: Очевидно, что \( 0.6875 > 0.5 \), т.е. вероятнее выиграть не менее двух партий из четырёх, чем не менее трёх партий из пяти.
Вывод
- Вероятнее выиграть одну партию из двух.
- Вероятнее выиграть не менее двух партий из четырёх.