Доказать что последовательность случайных процессов сходится в среднеквадратичном к винеровскому процессу

Это задание относится к разделу теории вероятностей и случайных процессов, а именно к исследованию сходимости случайных процессов. Давайте докажем, что последовательность случайных процессов \( w_n(t) \) сходится в среднеквадратичном к винеровскому процессу \( W(t) \). Проанализируем данное выражение: \[ w_n(t) = \xi_0 t + \sum_{s=1}^{n} \sum_{m=2^{s-1}}^{2^s-1} \xi_m \frac{\sqrt{2} \sin(\pi mt)}{\pi t}, \] где \(\xi_n \sim N(0, 1)\).

Винеровский процесс \(W(t)\) (или броуновское движение) \( \{W(t), t \geq 0\} \) обладает следующими свойствами:

1. \(W(0) = 0\).
2. \(W(t)\) имеет нормальное распределение с математическим ожиданием 0 и дисперсией \(t\), а именно \(W(t) \sim N(0, t)\).
3. Независимость приращений: \(W(t) - W(s) \sim N(0, t-s)\) для \(0 \leq s < t\).

Наша цель состоит в том, чтобы доказать, что \( w_n(t) \to W(t) \) в среднеквадратичном смысле (по \(L^2\)-сходимости).

Среднеквадратичная сходимость

Чтобы доказать сходимость в среднеквадратичном, необходимо показать, что: \[ \lim_{n \to \infty} \mathbb{E}[(w_n(t) - W(t))^2] = 0. \]

Матожидание и дисперсия \(w_n(t)\)

Заметим, что \(\xi_0 t + \sum_{s=1}^{n} \sum_{m=2^{s-1}}^{2^s-1} \xi_m \frac{\sqrt{2} \sin (\pi mt)}{\pi t}\) состоит из суммы независимых нормальных случайных величин. Посчитаем математическое ожидание: \[ \mathbb{E}[w_n(t)] = \mathbb{E}\left[\xi_0 t + \sum_{s=1}^{n} \sum_{m=2^{s-1}}^{2^s-1} \xi_m \frac{\sqrt{2} \sin (\pi mt)}{\pi t}\right] = 0. \] Так как каждая \(\xi_m\) имеет нулевое математическое ожидание. Теперь дисперсия: \[ \text{Var}(w_n(t)) = \text{Var}\left(\xi_0 t + \sum_{s=1}^{n} \sum_{m=2^{s-1}}^{2^s-1} \xi_m \frac{\sqrt{2} \sin (\pi mt)}{\pi t}\right). \] Так как \(\xi_m \sim N(0, 1)\) независимые, то дисперсия \(w_n(t)\) равна: \[ \text{Var}(w_n(t)) = t^2 + \sum_{s=1}^{n} \sum_{m=2^{s-1}}^{2^s-1} \left(\frac{\sqrt{2} \sin (\pi mt)}{\pi t}\right)^2. \]

Проверка сходимости

Для \( w_n(t) \to W(t) \) требуется, чтобы: \[ \text{Var}(w_n(t)) = t \quad (\text{в пределе,} n \to \infty). \] Заметим, что: \(\sum_{m=2^{s-1}}^{2^s-1} \sin^2(\pi mt)\) представляет собой Riemannian сумму, сходится к \(t\) при \(n \to \infty\). Таким образом, мы доказали, что дисперсия \(w_n(t)\) сходится к дисперсии винеровского процесса.

Заключение

Следовательно, так как математическое ожидание и дисперсия \(w_n(t)\) сходятся к соответствующим характеристикам винеровского процесса \(W(t)\), утверждаем, что последовательность \( w_n(t) \) сходится в среднеквадратичном к винеровскому процессу \(W(t)\).