Доказать что последовательность случайных процессов сходится в среднеквадратичном к винеровскому процессу

Это задание относится к разделу теории вероятностей и случайных процессов, а именно к исследованию сходимости случайных процессов. Давайте докажем, что последовательность случайных процессов $\text{(}{w}_n(t)\text{)}$ сходится в среднеквадратичном к винеровскому процессу $\text{(}W(t)\text{)}$. Проанализируем данное выражение: $\text{[}{w}_n(t)={\xi }_{0}t+\sum _{s=1}^n\sum _{m=2^{s-1}}^{2^s-1}{\xi }_m\frac{\sqrt{2}\sin (\pi mt)}{\pi t},\text{]}$ где $\text{(}{\xi }_n\sim N(0,1)\text{)}$.

Винеровский процесс $\text{(}W(t)\text{)}$ (или броуновское движение) $\text{(}\{W(t),t\ge 0\}\text{)}$ обладает следующими свойствами:

1. $\text{(}W(0)=0\text{)}$.
2. $\text{(}W(t)\text{)}$ имеет нормальное распределение с математическим ожиданием 0 и дисперсией $\text{(}t\text{)}$, а именно $\text{(}W(t)\sim N(0,t)\text{)}$.
3. Независимость приращений: $\text{(}W(t)-W(s)\sim N(0,t-s)\text{)}$ для $\text{(}0\le s<t\text{)}$.

Наша цель состоит в том, чтобы доказать, что $\text{(}{w}_n(t)\to W(t)\text{)}$ в среднеквадратичном смысле (по $\text{(}{L}^2\text{)}$-сходимости).

Среднеквадратичная сходимость

Чтобы доказать сходимость в среднеквадратичном, необходимо показать, что: $\text{[}\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\mathbb{E}[(w_n(t)-W(t){)}^2]=0.\text{]}$

Матожидание и дисперсия \(w_n(t)\)

Заметим, что $\text{(}{\xi }_{0}t+\sum _{s=1}^n\sum _{m=2^{s-1}}^{2^s-1}{\xi }_m\frac{\sqrt{2}\sin (\pi mt)}{\pi t}\text{)}$ состоит из суммы независимых нормальных случайных величин. Посчитаем математическое ожидание: $\text{[}\mathbb{E}[w_n(t)]=\mathbb{E}[{\xi }_{0}t+\sum _{s=1}^n\sum _{m=2^{s-1}}^{2^s-1}{\xi }_m\frac{\sqrt{2}\sin (\pi mt)}{\pi t}]=0.\text{]}$ Так как каждая $\text{(}{\xi }_m\text{)}$ имеет нулевое математическое ожидание. Теперь дисперсия: $\text{[}\text{Var}(w_n(t))=\text{Var}({\xi }_{0}t+\sum _{s=1}^n\sum _{m=2^{s-1}}^{2^s-1}{\xi }_m\frac{\sqrt{2}\sin (\pi mt)}{\pi t}).\text{]}$ Так как $\text{(}{\xi }_m\sim N(0,1)\text{)}$ независимые, то дисперсия $\text{(}{w}_n(t)\text{)}$ равна: $\text{[}\text{Var}(w_n(t))=t^2+\sum _{s=1}^n\sum _{m=2^{s-1}}^{2^s-1}{\left(\frac{\sqrt{2}\sin (\pi mt)}{\pi t}\right)}^2.\text{]}$

Проверка сходимости

Для $\text{(}{w}_n(t)\to W(t)\text{)}$ требуется, чтобы: $\text{[}\text{Var}(w_n(t))=t(\text{в пределе,}n\to \mathrm{\infty }).\text{]}$ Заметим, что: $\text{(}\sum _{m=2^{s-1}}^{2^s-1}{\sin }^2(\pi mt)\text{)}$ представляет собой Riemannian сумму, сходится к $\text{(}t\text{)}$ при $\text{(}n\to \mathrm{\infty }\text{)}$. Таким образом, мы доказали, что дисперсия $\text{(}{w}_n(t)\text{)}$ сходится к дисперсии винеровского процесса.

Заключение

Следовательно, так как математическое ожидание и дисперсия $\text{(}{w}_n(t)\text{)}$ сходятся к соответствующим характеристикам винеровского процесса $\text{(}W(t)\text{)}$, утверждаем, что последовательность $\text{(}{w}_n(t)\text{)}$ сходится в среднеквадратичном к винеровскому процессу $\text{(}W(t)\text{)}$.