Для трех проверяемых образцов вероятности выдержать многоступенчатые испытания прочности соответственно равны 0,5, 0,6 и 0,3

Это задание относится к разделу «Теория вероятностей» предмета «Математика».

Задача состоит в нахождении распределения случайной величины \(\xi\), которая представляет собой число образцов, выдержавших многоступенчатые испытания прочности. Даны вероятности выдержать испытания для трех образцов:

• Для первого образца: \(p_1 = 0.5\)
• Для второго образца: \(p_2 = 0.6\)
• Для третьего образца: \(p_3 = 0.3\)

Случайная величина \(\xi\) может принимать значения 0, 1, 2 или 3, в зависимости от количества образцов, которые выдержат испытания.

Давайте найдем вероятность для каждого возможного значения \(\xi\).

1. \(\xi = 0\): Ни один образец не выдержит испытания.

   Пусть \(A_1\), \(A_2\), и \(A_3\) обозначают события, что первый, второй и третий образцы выдерживают испытания соответственно. Тогда вероятность того, что ни один образец не пройдет испытания:

   \[ P(\xi = 0) = (1 - p_1) \cdot (1 - p_2) \cdot (1 - p_3) = 0.5 \cdot 0.4 \cdot 0.7 = 0.14 \]

2. \(\xi = 1\): Только один из трех образцов выдержит испытания.

   Для этого случая возможны три сценария:

   • Первый выдерживает, второй и третий — нет: \(p_1 \cdot (1 - p_2) \cdot (1 - p_3)\)
   • Второй выдерживает, первый и третий — нет: \((1 - p_1) \cdot p_2 \cdot (1 - p_3)\)
   • Третий выдерживает, первый и второй — нет: \((1 - p_1) \cdot (1 - p_2) \cdot p_3\)

   Сообща вероятность равна сумме вероятностей всех возможных сценариев:

   \[ P(\xi = 1) = p_1 \cdot (1 - p_2) \cdot (1 - p_3) + (1 - p_1) \cdot p_2 \cdot (1 - p_3) + (1 - p_1) \cdot (1 - p_2) \cdot p_3 \]

   Тогда:

   \[ P(\xi = 1) = 0.14 + 0.21 + 0.06 = 0.41 \]

3. \(\xi = 2\): Два из трех образцов выдержат испытания.

   Для этого случая возможны три сценария:

   • Первые два выдерживают, третий — нет: \(p_1 \cdot p_2 \cdot (1 - p_3)\)
   • Первые и третий выдерживают, второй — нет: \(p_1 \cdot (1 - p_2) \cdot p_3\)
   • Второй и третий выдерживают, первый — нет: \((1 - p_1) \cdot p_2 \cdot p_3\)

   Сообща вероятность равна сумме вероятностей всех возможных сценариев:

   \[ P(\xi = 2) = p_1 \cdot p_2 \cdot (1 - p_3) + p_1 \cdot (1 - p_2) \cdot p_3 + (1 - p_1) \cdot p_2 \cdot p_3 \]

   Итак:

   \[ P(\xi = 2) = 0.21 + 0.06 + 0.072 = 0.342 \]

4. \(\xi = 3\): Все три образца выдержат испытания.

   Вероятность этого равна произведению вероятностей всех трех событий:

   \[ P(\xi = 3) = p_1 \cdot p_2 \cdot p_3 = 0.5 \cdot 0.6 \cdot 0.3 = 0.09 \]

Сложим все вероятности ради проверки:

\[ P(\xi = 0) + P(\xi = 1) + P(\xi = 2) + P(\xi = 3) = 0.14 + 0.41 + 0.342 + 0.09 = 0.982 \]

Значит, вероятность \(\xi\) будет принимать одно из значений {0, 1, 2, 3} равна 1. Таким образом, все вероятности распределены суммой к 1.