Дискретные случайные величины, распределения вероятностей, математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение

Предмет: Теория вероятностей
Раздел: Дискретные случайные величины, распределения вероятностей, математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение.

Для каждой задачи необходимо:

1. Построить ряд распределения вероятностей случайной величины X.
2. Найти функцию распределения F(x) = P(X \leq x).
3. Найти математическое ожидание E(X).
4. Найти дисперсию D(X).
5. Найти среднее квадратическое отклонение \sigma = \sqrt{D(X)}.
6. Найти вероятность P(X \leq 3).

Задача 1.1

Эксперимент: извлечение карт из колоды до появления первого короля.
X — количество проведённых экспериментов (извлечений).

Анализ:
В колоде 52 карты, из них 4 короля. Вероятность появления короля при каждом извлечении с возвращением и перемешиванием равна p = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}.
Случайная величина X — число испытаний до первого успеха (появления короля). Это геометрическое распределение с параметром p = \frac{1}{13}.

Распределение вероятностей:
 P(X = k) = (1-p)^{k-1} p = \left(\frac{12}{13}\right)^{k-1} \cdot \frac{1}{13}, \quad k = 1, 2, 3, \ldots 

Функция распределения:
 F(k) = P(X \leq k) = 1 - (1-p)^k = 1 - \left(\frac{12}{13}\right)^k 

Математическое ожидание:
 E(X) = \frac{1}{p} = 13 

Дисперсия:
 D(X) = \frac{1-p}{p^2} = \frac{12/13}{(1/13)^2} = 12 \cdot 13 = 156 

Среднее квадратическое отклонение:
 \sigma = \sqrt{D(X)} = \sqrt{156} \approx 12.49 

Вероятность P(X \leq 3):
 P(X \leq 3) = F(3) = 1 - \left(\frac{12}{13}\right)^3 = 1 - \frac{1728}{2197} \approx 1 - 0.786 = 0.214 

Задача 1.2

4 книги на полке, одна — "Краткий курс теории вероятностей". Студент берёт книги по одной с полки сверху вниз до тех пор, пока не возьмёт нужную.
X — количество взятых книг.

Возможные значения X:
X = 1, 2, 3, 4.

Вероятности:
Поскольку одна из 4 книг нужная, и книги берутся сверху вниз:

• P(X=1) = \frac{1}{4} (нужная книга первая),
• P(X=2) = \frac{1}{4} (нужная вторая),
• P(X=3) = \frac{1}{4},
• P(X=4) = \frac{1}{4}.

Функция распределения:
 F(k) = P(X \leq k) = \sum_{i=1}^k P(X=i) = \frac{k}{4}, \quad k=1,2,3,4 

Математическое ожидание:
 E(X) = \sum_{k=1}^4 k \cdot \frac{1}{4} = \frac{1+2+3+4}{4} = \frac{10}{4} = 2.5 

Дисперсия:
 E(X^2) = \sum_{k=1}^4 k^2 \cdot \frac{1}{4} = \frac{1 + 4 + 9 + 16}{4} = \frac{30}{4} = 7.5 
 D(X) = E(X^2) - (E(X))^2 = 7.5 - (2.5)^2 = 7.5 - 6.25 = 1.25 

Среднее квадратическое отклонение:
 \sigma = \sqrt{1.25} \approx 1.118 

Вероятность P(X \leq 3):
 P(X \leq 3) = F(3) = \frac{3}{4} = 0.75 

Задача 1.3

Из колоды 36 карт берут 4 карты.
X — количество королей среди взятых карт.

Анализ:
Всего королей: 4.
Всего карт: 36.
Выбирается 4 карты без возвращения.

Распределение: гипергеометрическое с параметрами N=36, K=4, n=4.
Вероятность, что среди 4 выбранных карт будет ровно k королей:
 P(X=k) = \frac{\binom{4}{k} \binom{32}{4-k}}{\binom{36}{4}}, \quad k=0,1,2,3,4 

Найдём вероятности для k=0,1,2,3,4:

 \binom{36}{4} = \frac{36 \cdot 35 \cdot 34 \cdot 33}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 58905 

• P(X=0) = \frac{\binom{4}{0} \binom{32}{4}}{58905} = \frac{1 \cdot \binom{32}{4}}{58905}
  \binom{32}{4} = \frac{32 \cdot 31 \cdot 30 \cdot 29}{24} = 35960
  P(X=0) = \frac{35960}{58905} \approx 0.6105

• P(X=1) = \frac{\binom{4}{1} \binom{32}{3}}{58905} = \frac{4 \cdot \binom{32}{3}}{58905}
  \binom{32}{3} = \frac{32 \cdot 31 \cdot 30}{6} = 4960
  P(X=1) = \frac{4 \cdot 4960}{58905} = \frac{19840}{58905} \approx 0.3369

• P(X=2) = \frac{\binom{4}{2} \binom{32}{2}}{58905} = \frac{6 \cdot \binom{32}{2}}{58905}
  \binom{32}{2} = \frac{32 \cdot 31}{2} = 496
  P(X=2) = \frac{6 \cdot 496}{58905} = \frac{2976}{58905} \approx 0.0505

• P(X=3) = \frac{\binom{4}{3} \binom{32}{1}}{58905} = \frac{4 \cdot 32}{58905} = \frac{128}{58905} \approx 0.00217

• P(X=4) = \frac{\binom{4}{4} \binom{32}{0}}{58905} = \frac{1 \cdot 1}{58905} = 0.000017

Математическое ожидание:
 E(X) = n \cdot \frac{K}{N} = 4 \cdot \frac{4}{36} = \frac{16}{36} = \frac{4}{9} \approx 0.444 

Дисперсия:
 D(X) = n \cdot \frac{K}{N} \cdot \left(1 - \frac{K}{N}\right) \cdot \frac{N - n}{N - 1} = 4 \cdot \frac{4}{36} \cdot \frac{32}{36} \cdot \frac{32}{35} 
Подсчёт:
 D(X) = 4 \cdot \frac{4}{36} \cdot \frac{32}{36} \cdot \frac{32}{35} = 4 \cdot \frac{4}{36} \cdot \frac{32}{36} \cdot \frac{32}{35} 
 = 4 \cdot \frac{4}{36} \cdot \frac{32}{36} \cdot \frac{32}{35} = \frac{16}{36} \cdot \frac{32}{36} \cdot \frac{32}{35} 
 = \frac{16 \cdot 32 \cdot 32}{36 \cdot 36 \cdot 35} = \frac{16384}{45360} \approx 0.361 

Среднее квадратическое отклонение:
 \sigma = \sqrt{D(X)} \approx \sqrt{0.361} = 0.601 

Вероятность P(X \leq 3):
 P(X \leq 3) = 1 - P(X=4) = 1 - 0.000017 = 0.999983 

Задача 1.4

В лотерее выигрывает каждый пятый билет. Покупают билеты по одному до выигрыша.
X — количество купленных билетов.

Это геометрическое распределение с параметром p = \frac{1}{5} = 0.2.

Распределение вероятностей:
 P(X=k) = (1-p)^{k-1} p = (0.8)^{k-1} \cdot 0.2, \quad k=1,2,3,... 

Функция распределения:
 F(k) = 1 - (1-p)^k = 1 - 0.8^k 

Математическое ожидание:
 E(X) = \frac{1}{p} = 5 

Дисперсия:
 D(X) = \frac{1-p}{p^2} = \frac{0.8}{0.04} = 20 

Среднее квадратическое отклонение:
 \sigma = \sqrt{20} \approx 4.472 

Вероятность P(X \leq 3):
 P(X \leq 3) = F(3) = 1 - 0.8^3 = 1 - 0.512 = 0.488 

Задача 1.5

Вероятности попадания в цель:

• первым стрелком — 0.6,
• вторым — 0.7,
• третьим — 0.8.

X — число попаданий в цель при одновременном залпе трёх стрелков.

X принимает значения 0,1,2,3.

Распределение вероятностей:
Поскольку выстрелы независимы, вероятность каждого количества попаданий — сумма вероятностей соответствующих комбинаций.

• P(X=0) = P(\text{нет попаданий}) = (1-0.6)(1-0.7)(1-0.8) = 0.4 \cdot 0.3 \cdot 0.2 = 0.024

• P(X=1) — ровно одно попадание (три варианта):

 P(X=1) = 0.6 \cdot 0.3 \cdot 0.2 + 0.4 \cdot 0.7 \cdot 0.2 + 0.4 \cdot 0.3 \cdot 0.8 = 0.036 + 0.056 + 0.096 = 0.188 

• P(X=2) — ровно два попадания (три варианта):

 P(X=2) = 0.6 \cdot 0.7 \cdot 0.2 + 0.6 \cdot 0.3 \cdot 0.8 + 0.4 \cdot 0.7 \cdot 0.8 = 0.084 + 0.144 + 0.224 = 0.452 

• P(X=3) = 0.6 \cdot 0.7 \cdot 0.8 = 0.336

Проверка суммы:
0.024 + 0.188 + 0.452 + 0.336 = 1.0

Математическое ожидание:
 E(X) = \sum k P(X=k) = 0 \cdot 0.024 + 1 \cdot 0.188 + 2 \cdot 0.452 + 3 \cdot 0.336 = 0 + 0.188 + 0.904 + 1.008 = 2.1 

Дисперсия:
Сначала найдём E(X^2):

 E(X^2) = 0^2 \cdot 0.024 + 1^2 \cdot 0.188 + 2^2 \cdot 0.452 + 3^2 \cdot 0.336 = 0 + 0.188 + 1.808 + 3.024 = 5.02 

Тогда:

 D(X) = E(X^2) - (E(X))^2 = 5.02 - (2.1)^2 = 5.02 - 4.41 = 0.61 

Среднее квадратическое отклонение:
 \sigma = \sqrt{0.61} \approx 0.781 

Вероятность P(X \leq 3):
P(X \leq 3) = 1 (так как максимум 3 попадания).

Задача 1.6

Из урны с 5 белыми и 7 черными шарами достают 3 шара наугад.
X — число белых среди вынутых.

Общее число шаров: 12.
Выбирают 3 шара без возвращения.

Распределение: гипергеометрическое с параметрами N=12, K=5, n=3.

Вероятность, что среди 3 выбранных белых будет ровно k (от 0 до 3):

 P(X=k) = \frac{\binom{5}{k} \binom{7}{3-k}}{\binom{12}{3}}, \quad k=0,1,2,3 

Подсчёты:

 \binom{12}{3} = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10}{6} = 220 

• P(X=0) = \frac{\binom{5}{0} \binom{7}{3}}{220} = \frac{1 \cdot 35}{220} = \frac{35}{220} = 0.1591

• P(X=1) = \frac{\binom{5}{1} \binom{7}{2}}{220} = \frac{5 \cdot 21}{220} = \frac{105}{220} = 0.4773

• P(X=2) = \frac{\binom{5}{2} \binom{7}{1}}{220} = \frac{10 \cdot 7}{220} = \frac{70}{220} = 0.3182

• P(X=3) = \frac{\binom{5}{3} \binom{7}{0}}{220} = \frac{10 \cdot 1}{220} = \frac{10}{220