Дифференциальная функция непрерывной случайной величины задана на всей оси равенством

Этот пример относится к предмету "Теория вероятностей и математическая статистика". Раздел — "Плотность распределения непрерывных случайных величин".

Дано: \[ f(x) = \frac{2C}{1 + x^2} \]

Требуется найти значение постоянного параметра \( C \).

Для того, чтобы \( f(x) \) была плотностью распределения вероятностей, нужно чтобы выполнялись два условия:

1. \( f(x) \geq 0 \) для всех \( x \).
2. Интеграл от функции \( f(x) \) по всей оси должен быть равен 1: \[ \int_{-\infty}^{\infty} f(x) \, dx = 1 \]

Выполним интегрирование: \[ \int_{-\infty}^{\infty} \frac{2C}{1 + x^2} \, dx \]

Этот интеграл имеет вид стандартного интеграла: \[ \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{1 + x^2} \, dx = \pi \]

В нашем случае, множитель перед интегралом \(2C\):

\[ \int_{-\infty}^{\infty} \frac{2C}{1 + x^2} \, dx = 2C \cdot \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{1 + x^2} \, dx = 2C \cdot \pi \]

Таким образом, уравнение принимает вид: \[ 2C \cdot \pi = 1 \]

Решая его, находим \( C \): \[ C = \frac{1}{2\pi} \]

Следовательно, значение постоянного параметра \( C \) равно \( \frac{1}{2\pi} \).