Дан закон распределения двумерной случайной величины (Х, Y)

Главная
Высшая математика
Теория вероятности
Дан закон распределения двумерной случайной величины (Х, Y)

Пример 1:

1) Найти законы распределения ее составляющих Х и Y. 2) Вычислить математические ожидания МХ, МY и дисперсии DХ, DY. 3) Найти ковариацию и коэффициент корреляции случайных величин Х и Y. 4) Составить условные законы распределения случайной величины Х при условии Y =2 (Х_Y₌₂) и случайной величины Y при условии Х =7 (Y_Х=7). Установить, являются ли случайные величины Х и Y зависимыми; коррелированными?

Решение от преподавателя:

Упорядоченная пара (X, Y) случайных величин X и Y называется двумерной случайной величиной, или случайным вектором двумерного пространства. Двумерная случайная величина (X, Y) называется также системой случайных величина X и Y.

События (X=x_i, Y=y_j) образуют полную группу событий, поэтому сумма всех вероятностей p_ij(i=1,2...,n, j=1,2..,m), указанных в таблице, равна 1.
1. Зависимость случайных величин X и Y.
Находим ряды распределения X и Y.
Пользуясь формулой ∑P(xi,yj) = pi (j=1..n), находим ряд распределения X.

Математическое ожидание M[X].
M[x] = 5*0.00202 + 6*0.031 + 7*0.0229 + 8*0.94 = 7.91
Дисперсия D[X].
D[X] = 5²*0.00202 + 6²*0.031 + 7²*0.0229 + 8²*0.94 - 7.91² = 0.16
Среднее квадратическое отклонение σ(x).

Пользуясь формулой ∑P(xi,yj) = qj (i=1..m), находим ряд распределения Y.

Математическое ожидание M[Y].
M[y] = 1*0.0296 + 2*0.0249 + 3*0.95 = 2.92
Дисперсия D[Y].
D[Y] = 1²*0.0296 + 2²*0.0249 + 3²*0.95 - 2.92² = 0.14
Среднее квадратическое отклонение σ(y).

Поскольку, P(X=5,Y=1) = 0.000673≠0.00202•0.0296, то случайные величины X и Y зависимы.
2. Условный закон распределения X.
Условный закон распределения X(Y=1).
P(X=5/Y=1) = 0.000673/0.0296 = 0.0227
P(X=6/Y=1) = 0.0269/0.0296 = 0.91
P(X=7/Y=1) = 0.00135/0.0296 = 0.0455
P(X=8/Y=1) = 0.000673/0.0296 = 0.0227
Условное математическое ожидание M[X/Y=1).
M[X/Y=y] = 5*0.0227 + 6*0.91 + 7*0.0455 + 8*0.0227 = 6.07
Условная дисперсия D[X/Y=1).
D[X/Y=y] = 5²*0.0227 + 6²*0.91 + 7²*0.0455 + 8²*0.0227 - 6.07² = 0.154
Условный закон распределения X(Y=2).
P(X=5/Y=2) = 0.000673/0.0249 = 0.027
P(X=6/Y=2) = 0.00269/0.0249 = 0.11
P(X=7/Y=2) = 0.0202/0.0249 = 0.81
P(X=8/Y=2) = 0.00135/0.0249 = 0.0541
Условное математическое ожидание M[X/Y=2).
M[X/Y=y] = 5*0.027 + 6*0.11 + 7*0.81 + 8*0.0541 = 6.89
Условная дисперсия D[X/Y=2).
D[X/Y=y] = 5²*0.027 + 6²*0.11 + 7²*0.81 + 8²*0.0541 - 6.89² = 0.259
Условный закон распределения X(Y=3).
P(X=5/Y=3) = 0.000673/0.945 = 0.000712
P(X=6/Y=3) = 0.00135/0.945 = 0.00142
P(X=7/Y=3) = 0.00135/0.945 = 0.00142
P(X=8/Y=3) = 0.942/0.945 = 1
Условное математическое ожидание M[X/Y=3).
M[X/Y=y] = 5*0.000712 + 6*0.00142 + 7*0.00142 + 8*1 = 7.99
Условная дисперсия D[X/Y=3).
D[X/Y=y] = 5²*0.000712 + 6²*0.00142 + 7²*0.00142 + 8²*1 - 7.99² = 0.0135
Ковариация.
cov(X,Y) = M[X•Y] - M[X]•M[Y]
cov(X,Y) = 1*5*0.000673 + 2*5*0.000673 + 3*5*0.000673 + 1*6*0.02692 + 2*6*0.00269 + 3*6*0.00135 + 1*7*0.00135 + 2*7*0.02019 + 3*7*0.00135 + 1*8*0.000673 + 2*8*0.00135 + 3*8*0.9421 - 7.91 • 2.92 = 0.13
Если случайные величины независимы, то их ковариации равна нулю. В нашем случае cov(X,Y) ≠ 0.
Коэффициент корреляции.

Значимость коэффициента корреляции.
Выдвигаем гипотезы:
H₀: r_xy = 0, нет линейной взаимосвязи между переменными;
H₁: r_xy ≠ 0, есть линейная взаимосвязь между переменными;
Для того чтобы при уровне значимости α проверить нулевую гипотезу о равенстве нулю генерального коэффициента корреляции нормальной двумерной случайной величины при конкурирующей гипотезе H₁ ≠ 0, надо вычислить наблюдаемое значение критерия (величина случайной ошибки)

и по таблице критических точек распределения Стьюдента, по заданному уровню значимости α и числу степеней свободы k = n - 2 найти критическую точку t_крит двусторонней критической области. Если t_набл < t_крит оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Если |t_набл| > t_крит — нулевую гипотезу отвергают.

По таблице Стьюдента с уровнем значимости α=0.05 и степенями свободы k=14.86-m-1 = 12.86 находим t_крит:
t_крит (n-m-1;α/2) = (12.86;0.025) = 2.16
где m = 1 - количество объясняющих переменных.
Если t_набл > t_критич, то полученное значение коэффициента корреляции признается значимым (нулевая гипотеза, утверждающая равенство нулю коэффициента корреляции, отвергается).
Поскольку t_набл > t_крит, то отклоняем гипотезу о равенстве 0 коэффициента корреляции. Другими словами, коэффициент корреляции статистически - значим.

Доверительный интервал для коэффициента корреляции.
r - Δ_r ≤ r ≤ r + Δ_r
Δ_r = ±t_критm_r = ±2.16 • 0.11 = 0.237
0.92 - 0.237 ≤ r ≤ 0.92 + 0.237
Доверительный интервал для коэффициента корреляции.
0.683 ≤ r ≤ 1
Уравнение линейной регрессии с y на x имеет вид:

Найдем необходимые числовые характеристики.
Выборочные средние:

= 1(0.000673 + 0.0269 + 0.00135 + 0.000673) + 2(0.000673 + 0.00269 + 0.0202 + 0.00135) + 3(0.000673 + 0.00135 + 0.00135 + 0.942) = 2.92

= 5(0.000673 + 0.000673 + 0.000673) + 6(0.0269 + 0.00269 + 0.00135) + 7(0.00135 + 0.0202 + 0.00135) + 8(0.000673 + 0.00135 + 0.942) = 7.91
Дисперсии:
σ²_x = 1²(0.000673 + 0.0269 + 0.00135 + 0.000673) + 2²(0.000673 + 0.00269 + 0.0202 + 0.00135) + 3²(0.000673 + 0.00135 + 0.00135 + 0.942) - 2.92² = 0.14
σ²_y = 5²(0.000673 + 0.000673 + 0.000673) + 6²(0.0269 + 0.00269 + 0.00135) + 7²(0.00135 + 0.0202 + 0.00135) + 8²(0.000673 + 0.00135 + 0.942) - 7.91² = 0.16
Откуда получаем среднеквадратические отклонения:
σ_x = 0.369 и σ_y = 0.396
и ковариация:
Cov(x,y) = 1•5•0.000673 + 2•5•0.000673 + 3•5•0.000673 + 1•6•0.0269 + 2•6•0.00269 + 3•6•0.00135 + 1•7•0.00135 + 2•7•0.0202 + 3•7•0.00135 + 1•8•0.000673 + 2•8•0.00135 + 3•8•0.942 - 2.92 • 7.91 = 0.134
Определим коэффициент корреляции:

Запишем уравнения линий регрессии y(x):

и вычисляя, получаем:
y_x = 0.98 x + 5.04
Если построить точки, определяемые таблицей и линии регрессии, увидим, что обе линии проходят через точку с координатами (2.92; 7.91) и точки расположены близко к линиям регрессии.