Чему равна вероятность того, что при бросании игральной кости 60 раз, 1 очко выпадет 11 раз

Предмет: Теория вероятностей

Раздел: Формула Бернулли

Данная задача относится к схеме независимых испытаний Бернулли. В каждом испытании (броске игральной кости) вероятность выпадения 1 очка составляет:

P = \frac{1}{6}

Общее число испытаний:

n = 60

Число успехов (количество выпадений 1 очка):

k = 11

Вероятность того, что событие (выпадение 1 очка) произойдет ровно k раз из n испытаний, рассчитывается по формуле Бернулли:

 P_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n - k} 

где C_n^k — биномиальный коэффициент, определяемый как:

 C_n^k = \frac{n!}{k!(n - k)!} 

Подставляем значения:

 C_{60}^{11} = \frac{60!}{11!(60 - 11)!} 

 P_{60}(11) = C_{60}^{11} \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^{11} \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^{49} 

Вычислим биномиальный коэффициент:

 C_{60}^{11} = \frac{60!}{11!(49!)} 

Используем приближенные вычисления:

 C_{60}^{11} \approx \frac{60 \cdot 59 \cdot 58 \cdot 57 \cdot 56 \cdot 55 \cdot 54 \cdot 53 \cdot 52 \cdot 51 \cdot 50}{11!} 

Приблизительно:

 C_{60}^{11} \approx 3.82 \times 10^{12} 

Теперь вычислим вероятность:

 P_{60}(11) \approx 3.82 \times 10^{12} \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^{11} \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^{49} 

Используем логарифмические вычисления или калькулятор, чтобы получить конечное значение:

 P_{60}(11) \approx 0.146 

Ответ:

Вероятность того, что 1 очко выпадет ровно 11 раз при 60 бросках игральной кости, составляет примерно 0.146 (или 14.6%).