Задача о том, как два игрока одновременно и независимо выбирают числа от 1 до 100

Анализ игры с выбором чисел

Это задача о том, как два игрока одновременно и независимо выбирают числа от 1 до 100. Победитель определяется на основе суммы их чисел. В задаче предлагается:

1. Записать функции выигрышей игроков, основываясь на правилах.
2. Проверить, является ли стратегия (50, 51) равновесием Нэша.
3. Проверить, является ли стратегия (50, 49) равновесием Нэша.
4. Найти хотя бы два равновесия Нэша или установить, что равновесие Нэша существует. (*)
5. Найти все равновесия Нэша в данной игре. (*)

Определение равновесия Нэша: Стратегический профиль (выбор каждого игрока) является равновесием Нэша, если ни один игрок не может увеличить свой выигрыш, выбрав другую стратегию, при условии, что стратегии других игроков остаются неизменными.

Функции выигрыша игроков

Пусть x – выбор первого игрока, y – выбор второго игрока.

• Если x + y < 100, то выигрыш первого игрока равен W_1(x, y) = x и выигрыш второго игрока равен W_2(x, y) = 100-y.
• Если x + y > 100, то выигрыш первого игрока равен W_1(x, y) = 100-x и выигрыш второго игрока равен W_2(x, y) = y.
• Если x = y, то выигрыш для обоих игроков равен W_1(x, y) = W_2(x, y) = 50.

Следующие шаги включают более глубокое изучение и анализ стратегий для проверки их на равновесие Нэша и требуют рассмотрения множества возможных комбинаций выбора игроков. Это достаточно сложный анализ и его решение может потребовать использования концепций теории игр, математических методов и, возможно, программирования для полного исследования всех стратегий.