Упорядочить платежные матрицы по величине седлового элемента

Предмет: Математика
Раздел: Теория игр, матричные игры, седловой элемент

Задача: Упорядочить платежные матрицы по величине седлового элемента.

Шаг 1. Найдём седловой элемент для каждой матрицы.

Седловой элемент — это элемент, который является минимальным в своей строке и максимальным в своём столбце.

1) Матрица  P = \begin{pmatrix} 2 & 1 \ -3 & 0 \end{pmatrix} 

• Минимумы по строкам:
  • 1-я строка: min(2, 1) = 1
  • 2-я строка: min(-3, 0) = -3
• Максимумы по столбцам:
  • 1-й столбец: max(2, -3) = 2
  • 2-й столбец: max(1, 0) = 1

Проверим элементы, которые одновременно минимальны в строке и максимальны в столбце:

• Элемент (1,2) = 1: минимальный в 1-й строке и максимальный в 2-м столбце → да, седловой элемент = 1

2) Матрица  P = \begin{pmatrix} -1 & 5 \ 3 & 7 \end{pmatrix} 

• Минимумы по строкам:
  • 1-я строка: min(-1, 5) = -1
  • 2-я строка: min(3, 7) = 3
• Максимумы по столбцам:
  • 1-й столбец: max(-1, 3) = 3
  • 2-й столбец: max(5, 7) = 7

Проверим:

• Элемент (2,1) = 3: минимальный в 2-й строке и максимальный в 1-м столбце → да, седловой элемент = 3

3) Матрица  P = \begin{pmatrix} 5 & 2 \ 6 & -4 \end{pmatrix} 

• Минимумы по строкам:
  • 1-я строка: min(5, 2) = 2
  • 2-я строка: min(6, -4) = -4
• Максимумы по столбцам:
  • 1-й столбец: max(5, 6) = 6
  • 2-й столбец: max(2, -4) = 2

Проверим:

• Элемент (1,2) = 2: минимальный в 1-й строке и максимальный во 2-м столбце → да, седловой элемент = 2

4) Матрица  P = \begin{pmatrix} -7 & -1 \ -4 & -3 \end{pmatrix} 

• Минимумы по строкам:
  • 1-я строка: min(-7, -1) = -7
  • 2-я строка: min(-4, -3) = -4
• Максимумы по столбцам:
  • 1-й столбец: max(-7, -4) = -4
  • 2-й столбец: max(-1, -3) = -1

Проверим:

• Элемент (2,1) = -4: минимальный в 2-й строке и максимальный в 1-м столбце → да, седловой элемент = -4

Итог:

• 
  
  1. Седловой элемент: 1
• 
  
  2. Седловой элемент: 3
• 
  
  3. Седловой элемент: 2
• 
  
  4. Седловой элемент: -4

Упорядочим по возрастанию седлового элемента:

4 \quad ( -4 ), \quad 1 \quad (1), \quad 3 \quad (2), \quad 2 \quad (3)

То есть ответ: 4 1 3 2